三角比の拡張

質問

このような立派なサイトで数Iの初歩の初歩を聞くなんてお恥ずかしいですが、目を通すだけでもよろしくお願いします。

高校1年です。

三角比を習いだして、θが鋭角であればまだイメージが湧いていたんですが、θが鈍角になったとたん全くイメージが湧かなくなってしまいました。

だいたいこういう場合、単位円（の半円）を使って考えますよね。
そのとき参考書などには「三角比の値はいずれも半径に関係なく、θの値だけで定まるので、普通は半径１の半円で考える」と必ず書いてありますよね。
それとともに、「半円上の点P(x,y)について、x=cosθ,y=sinθ」としています。この、x=cosθ,y=sinθの考え方がいまいちパッとしないんです。

では三角形の一辺の長さと三角比において、このx=cosθ,y=sinθという関係が成り立つかといったら、成り立ちませんよね。
「三角比の値はいずれも半径に関係なく、θの値だけで定まるので」って書いてあるのにもかかわらず、結局は半径も関係してくるのではないでしょうか。
もしこの考えにおいて、単位円を使わず、ほかの半径の円を使ったら…などとドンドン考えていくと頭がこんがらがってきて整理が付かなくなってしまいます。

誰か分かりやすく説明していただける方、よろしくお願いいたします。

回答No.2

ymmasayan · ベストアンサー

失礼ですが、三角比は直角三角形を前提にしていることは理解されていますよね。
一角が同じ直角三角形は単なる拡大・縮小ですから三角比(cosθ,sinθ)が同じになるのは理解できますよね。
あくまでもcosθ＝底辺／斜辺(半径)、sinθ＝垂線／斜辺(半径)です。
座標で考えた場合は半径１で考えている例ですね。
もし半径が１で無い場合、ｘ／√(ｘ^2＋ｙ^2)、ｙ／√(ｘ^2＋ｙ^2)となります。

なお、鈍角で混乱すると言う件ですが当然といってもいいかも知れません。
半径１の単位円は常に正の値ですが、その影であるｘ、ｙは正になったり負になったりします。
従って三角比が正になったり、負になったりということになるのです。
蛇足ですが、鈍角を考え始めた時点で、直角三角形を離れ、座標で考えないといけないのです。

回答No.4

banakona

逆に考えては？

「三角比は三角関数の応用だ」と。
言い換えれば、『三角比は、三角関数で「θが鋭角」という特殊な場合を考えている』と。

「とっつきが良さそうだし測量などで応用も効くだろうから」と大抵のカリキュラムでは三角比から習うのだと思うが、そうすると貴方のように「鈍角の壁」にぶつかる。
かくいう私も「三角関数」なる言葉を最初に聴いたとき、数学の辞典を引いたら、いきなり単位円が登場して「どこが三角なんだ？」と挫折した経験がある。だから鈍角・単位円アレルギーは分からないでもない。私もそのために、せっかく同級生よりも早く習得できるチャンスを逃し、結局、正規の課程で習うことになった。
0sakuragi0さんも何とか「鈍角の壁」を乗り越えてください。高校数学では、三角関数と微積分をマスターしたら胸を張っていい。それぐらい価値のあるものです。

回答No.3

YHU00444

まぁ確かに。むしろ最初から極座標表示でx=rcosθ,y=rsinθと書いた方が解りやすいのかもしれんし、応用から入った方がかえって理解しやすい場合もあると思う。

というか、物理系の人間としては、三角関数イコールd^2(x)/(dt)^2=-kxの解＆波や周期運動を表すのに便利＆オイラーの公式が成り立つ程度を押さえておけばオッケーで、あまり三角比との対比を言われてもピンとこなかったりします。（波をθの回転で表現できればそれで十分だし）
※無いと非常に困るが

回答No.1

noname#77845

「三角形の一辺の長さと三角比において、このx=cosθ,y=sinθという関係」
このときは、半径を１として考えています。なので
x=1×cosθ
y=1×sinθ
になっているんです。
半径が１じゃない円を考えるときは、この「１」が変化します。
結局、
「cos」は底辺/斜辺←ｘ座標/半径
「sin」は垂線/斜辺←ｙ座標/半径
なので、角度（θ）の変化のみで、関係式は成り立っています。