数学の勉強しています。

質問

三角関数の値
(1)sin^2　52.5°＝
(2)tan420°＝
関数の最大値、最小値
(1)ｙ＝sin^4x+cos^4x
方程式
(1)√3tan(2x-30°)=3　(0≦x≦180°)

よろしくお願いします。

回答No.1

kexe · ベストアンサー

うーん、そこまで難しい問題じゃないですよ。
パズルと考えてください。ヒントをだしましょう。

三角関数の値（１）
mihoronさんが三角関数の値を知っているのは
30,60,45度のものですよね。
だからその角度をたしひきして52.5を作ればいいんです。
今回の場合は52.5×2=105=○+○でしょ。
そしたら今度は公式を使いましょう。
cos2α=1-2sin~2α
ってのがありましたよね。もう答えはでてきますね。

(２)えーっと円を頭にうかべてください。
円は３６０度ですよね。
そうなると３６１度というのはどこでしょう。
実は２周目なんです。つまり１度と同じと考えるってことです。
だから４２０度って言うのは何度と同じなんでしょう？

お礼

おはようございます。
早速の回答ありがとうございます。うれしいです。

回答No.4

fluid

もう既に他の方が説明されてますが、一応解いてみました。

問(1)sin^2　52.5＝

sin^2 52.5 =｛1-sin(2×52.5)｝/2
=1/2 - (1/2)sin105
=1/2 - (1/2)sin(90+15)
=1/2 - (1/2)(sin90cos15+cos90sin15)
=1/2 - (1/2)(cos15+sin15)　・・・(1)

sin^2 15 = (1-cos30)/2 = (2-√3)/4
よって、
sin15 =｛(2-√3)/4｝^(1/2) =｛(4-2√3)/8｝^(1/2)
=(√3-1)/2√2 [←二重根号]　・・・(2)

同様に cos^2 15 を計算して、　cos15 =(√3+1)/2√2　・・・(3)

(1)へ(2)(3)を代入して、
sin^2 52.5 = 1/2 - (√3+1+√3-1)/2√2
=1/2 - √6/2

問(2) tan420=tan(180×2 + 60) = tan60 = √3

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

konitak

たぶんいま加法定理を習って、そこから倍角の公式、半角の公式。。。なんかが出てきて「公式多いちゅーねんっ！」ってへこたれてるところなんじゃないかなぁと思います。

私的には、加法定理だけは死ぬ気で覚えて、あとは倍角も半角も、そこから公式を自分で作れるようにするのがよいかと。

で、私は一番面倒そうな、最大、最小の話だけしておきましょうか。

いろいろな解き方ができそうですが、次数が高いので私ならとりあえず
sin^4 x + cos^4 x = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2 sin^2 x cos^2 x
と変形します。で、sinとcosの積は、sinの加法定理を思い出して公式作成。
sin a cos b = (1/2)(sin(a+b) + sin(a-b))であることから
sin x cos x = (1/2) sin 2x
よって、y = 1 - 2 * ((1/2) sin 2x)^2 = 1 - (1/2) sin^2 2x
ここまでくれば、sinの式だけになったからあとはがんばって！
※最大、最小の問題は、最大値、最小値をとるxの値も答えるのを忘れずに！

最後のは、2x-30°は-30～330の間にあるので、その中でtanが √3になるのを拾えばできますよ。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

kexe

関数の最大値、最小値の問題は
sin,cosのとる値の範囲を頭に入れておけば簡単です。
どのような範囲を取るのかはおそらくわかると思うので省略します。
ではとき方、
まずsin^2xはどのような値の範囲をとるでしょうか？
２乗だから０以上１以下ですね。
では４乗は？
もうわかりましたね(^o^)

方程式の問題ですが
まずはtanが正の値を取らねば等式は成り立ちませんから
xの範囲をせばめられますね。
つまり（2x-30）が０～９０、あるいは１８０～２７０以下。

あとはこの式の両辺を２乗して
tan^2α＝の公式を用いてあげて、分母を両辺にかける。
あとはめんどいようですが計算計算ですね

こっちの２問はちょっと難しいかもしれませんが
これもなれれば簡単だと思います。がんばってください。
もしもっといい解き方あったらごめんなさい。