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微分
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(1) (sin^3(x))'=3sin^2(x)(sin(x))'=3sin^2(x)cos(x) (2) sin^(-1)(x/3)=y(-3≦x≦3,-π/2≦y≦π/2)とおくと sin(y)=x/3 両辺をxで微分すると cos(y)y'=1/3 y'=(1/3)/cos(y) cos(y)=√(1-sin^2(y))=√(1-(x/3)^2)=(1/3)√(9-x^2) より y'=(sin^(-1)(x/3))' =(1/3)*3/√(9-x^2) ∴(sin^(-1)(x/3))'=1/√(9-x^2) (3) cos^(-1)(x/2)=y (-2≦x≦2, 0≦y≦π)とおくと cos(y)=x/2 xで微分して -sin(y)y'=1/2 y'=-(1/2)/sin(y) sin(y)=√(1-cos^2(x))=√(1-(x/2)^2)=(1/2)√(4-x^2) より y'=(cos^(-1)(x/2))' =-(1/2)*2/√(4-x^2) ∴(cos^(-1)(x/2))'=-1/√(4-x^2) (4) tan^(-1) x/4=y (-π/2≦y≦π/2,-4≦x≦/4)とおくと tan(y)=x/4 xで微分して y'/cos^2(y)=1/4 y'=(1/4)cos^2(y) cos^2(y)=1/(1+tan^2(y))=1/(1+(x/4)^2)=4/(4+x^2)より y'={tan^(-1) x/4}' =(1/4)*4/(4+x^2) ∴{tan^(-1) x/4}'=1/(4+x^2)
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- info22_
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#3です。 A#3の(4)に計算ミスが有りましたので訂正させていただきます。 (4) >tan^(-1)(x/4)=y (-π/2≦y≦π/2,-4≦x≦/4)とおくと > tan(y)=x/4 >xで微分して > y'/cos^2(y)=1/4 > y'=(1/4)cos^2(y) >cos^2(y)=1/(1+tan^2(y))=1/(1+(x/4)^2)=4/(4+x^2)より ←計算ミス 正：cos^2(y)=1/(1+tan^2(y))=1/(1+(x/4)^2)=16/(16+x^2)より ↑この影響で以下が訂正になります。 > y'={tan^(-1)(x/4)}' > =(1/4)*4/(4+x^2) ←× 正: =(1/4)*16/(16+x^2) >∴{tan^(-1)(x/4)}'=1/(4+x^2) ←× 正：{tan^(-1)(x/4)}'=4/(16+x^2) 以上、訂正願います。
お礼
わざわざありがとうございます。 参考にさせていただきますね。
- ferien
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ANo.2です。 ＞(3)cos^(-1) x/2 ｙ＝cos-1（ｕ），ｕ＝ｘ／２とおく ｄｙ／ｄｕ＝－１／√（１－ｕ^2），ｄｕ／ｄｘ＝１／２ dy/dx＝(dy/du)・(du/dx) ＝｛－１／√（１－(x/2)^2）｝×(1/2) ＝(1/2)×｛－２／√（４－ｘ^2）｝ ＝－１／√（４－ｘ^2） ＞(4)tan^(-1) x/4 ｙ＝tan-1（ｕ），ｕ＝ｘ／４とおく ｄｙ／ｄｕ＝１／（１＋ｕ^2），ｄｕ／ｄｘ＝１／４ dy/dx＝(dy/du)・(du/dx) ＝｛１／（１＋(x/4)^2）｝×(1/4) ＝(1/4)×｛１６／（１６＋ｘ^2）」 ＝４／（１６＋ｘ^2） になりましたが、どうでしょうか？
お礼
何度もありがとうございます。 本当に感謝します。
- ferien
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ANo.1です。問題を勘違いしていたかもしれません。 （２）～（４）は、－１乗ではなくて、sin-1(x/3)ということであれば、 ＞(2)sin^(-1) x/3 ｙ＝sin-1（ｕ），ｕ＝ｘ／３とおくと、 ｄｙ／ｄｘ＝１／√１－ｕ^2，ｄｕ／ｄｘ＝１／３ dy/dx＝(dy/du)・(du/dx) ＝（１／√１－(x/3)^2）×(1/3) ＝(1/3)×（３／√９－ｘ^2） ＝１／√９－ｘ^2 ＞(3)cos^(-1) x/2 ｙ＝cos-1（ｕ），ｕ＝ｘ／２とおく ＞(4)tan^(-1) x/4 ｙ＝tan-1（ｕ），ｕ＝ｘ／４とおく ANo.1が違っていたら、これでやってみて下さい。
お礼
-1乗で合っています。わざわざありがとうございます。
- ferien
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＞次の関数を微分せよ。 合成関数の微分です。 ＞(1)sin^3 x ｙ＝ｕ^3，ｕ＝sinｘとおくと、 ｄｙ／ｄｕ＝３ｕ^2，ｄｕ／ｄｘ＝cosｘ dy/dx＝(dy/du）・(du/dx)＝３sin^2ｘcosｘ ＞(2)sin^(-1) x/3 ｙ＝ｕ^(-1)，ｕ＝sinｖ、ｖ＝ｘ／３とおくと、 ｄｙ／ｄｕ＝－ｕ^(-2)，ｄｕ／ｄｖ＝cosｖ，ｄｖ／ｄｘ＝１／３ dy/dx＝(dy/du)・(du/dv)・(dv/dx) ＝－（sin(x/3)）^(-2)・cos(x/3)・(1/3) ＝－(1/3)sin^(-2)(x/3)cos(x/3) ＞(3)cos^(-1) x/2 ｙ＝ｕ^(-1)，ｕ＝cosｖ，ｖ＝ｘ／２とおく ＞(4)tan^(-1) x/4 ｙ＝ｕ^(-1)，ｕ＝tanｖ，ｖ＝ｘ／４とおく 後は同じようにできると思います。
お礼
お返事遅くなりました。ご回答ありがとうございました。 一つ一つ置き換えていく方法でやるんですね。分かりやすくなりました。 ありがとうございます！
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