微分

質問

y=cot^(-1)xとする。
d^y/dx^=sin^ysin2yを使ってd^3y/dx^3を求めよ。

答え　-2sin^3ysin3y

という問題で、私はd^3y/dx^3=(d/dx)(d^y/dx^)=(d/dy)(dy/dx)(d^y/dx^)と展開し、dy/dx=-sin^y
d/dy(-sin^y)=-2sinycosy=-sin2y
を使って答えを-sin^ysin^2yとしました。
解答ではd^3y/dx^3=(dy/dx)(d/dy)(d^y/dx^)と展開して答えを求めていました。
解答は理解できますが、自分の答えを変形しても解答にならなかったので、自分の答えが間違っているのかと思います。どこが間違っているのか教えてください。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

>d^y/dx^=sin^ysin2y

>d^3y/dx^3=(d/dx)(d^y/dx^)=(d/dy)(dy/dx)(d^y/dx^)

>d^3y/dx^3=(dy/dx)(d/dy)(d^y/dx^)

理解に苦しむ式です。高階微分をよく理解してから計算してください。

>y=cot^(-1)x　　　　　(1)

このような逆関数を微分するには

coty=x　　　　　　　　　(2)　　　

に戻してから微分するのが定石です。両辺をxで微分して

d(coty)/dx=(dy/dx)[d(coty)/dy]=(dy/dx)(-1/sin^2y)=1

これより一階微分は

dy/dx=-sin^2y (3)

二階微分は

d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=(dy/dx)[d(dy/dx)/dy]=-sin^2y[d(-sin^2y)/dy]

=-sin^2y[-2sinycosy]=2sin^3ycosy=sin^2ysin(2y) （倍角公式使用）

三階微分は

d^3y/dx^3=d(d^2y/dx^2)/dx=(dy/dx)[d(d^2y/dx^2)/dy]=-sin^2y[d(sin^2ysin(2y)/dy]

=-sin^2y[2sinycosysin(2y)+sin^2y2cos(2y)]

=-2sin^3y[cosysin2y+sinycos(2y)]

=-2sin^3ysin(3y) (加法定理使用)

回答No.1

Tacosan

そもそも (dy/dx)(d/dy) と (d/dy)(dy/dx) って, 違う操作でしょ?