微分方程式について

質問

dx/dy=y^2-yを解けという問題についてです

自分は与式より　y = 0,1
y≠0,1とし　∫1/(y^2-y)dy=∫dx
log｜(y-1)/y｜= x + C
｜(y-1)/y｜= e^(x + C)
(y-1)/y = ±e^C・e^x
±e^Cは定数であるからe^C=Dとすると
(y-1)/y = D・e^x
y = 1/(1-D・ex)
よって答えをy = 0,1，y = 1/(1-D・e^x)と求めたのですが
解答はy = 0，y = 1/(1-D・e^x)となってました
どうして答えにy = 1が含まれないのでしょうか。
いまいちこの範囲が理解できていないので、ほかにも間違っているところなどあったら訂正などしていただけるとうれしいです

回答No.1

planet_selpo · ベストアンサー

y=1/(1-D*exp(x))にD=0を代入すると、y=1となるので、
y=1はy=1/(1-D*exp(x))に含まれているといえます。
よって、答えはy=0とy=1/(1-D*exp(x))になるのです。
微分方程式を解いたら、解が重複していないかを確かめてください。
積分定数を含む解(一般解)が特殊解(今回ではy=0,1)を含んでいることもありますので。

ちなみに、よく例として取り上げられる微分方程式
dy/dx=ky
にも同じ話は出てきます。この場合、y=0は解です。y≠0のとき計算するとy=C*exp(kx)です。
C=0とするとy=0となるので、解は、y=C*exp(kx)となります。

(あと、厳密な話をしておくと、質問者様が書かれた式
(y-1)/y = D・e^x
はいつでも成り立つわけではありません。
というのも、今、y≠0,1としているので、D=0というのはありえないからです。)

(余談:これ以下は内容に一切責任は持ちません。ちょっと適当なことを言います)
実はy=0もy=1/(1-D*exp(x))に含まれているといえます。
なぜならば、D→±∞とすれば、任意のxについてy→0となるからです。
よって、答えは、y=1/(1-D*exp(x))(ただし、Dは実数または±∞)となります。

お礼

さっそくのご回答ありがとうございます
自分の質問を見ていて思ったのですが、積分する段階でy≠0,1を条件として置いていますが、y≠0だけでいいのではないでしょうか。
そうすると解はy=0，y=1/(1-D*exp(x))・・・？
でも、あなた様がおっしゃっているようにD=0となることはないので一般解（？y=1/(1-D*exp(x))の解）にy=1が含まれないのでは？と考えてしまいました
積分する時の条件としてy≠0としているので答えのようになるのかな、とも思いますがなんとなく納得がいきません
丁寧に解説していただいたのに、うまく理解できず申し訳ありません
回答を参考に、自分なりに少し考えてみます
本当にありがとうございました