微分方程式

質問

y'=1-(y/x)をときたいのですが、
dy/dx=1-(y/x)
dy/y=dx/y -dx/x
両辺を積分して
log|y|=x/y-log|x| +C
y=e^(x/y) /x
xy=e^(x/y)
となったのですが、解答には
y=x/2 -4/xとなっています。
間違いを指摘してもらえますか？

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

dy/y=dx/y -dx/x
両辺を積分して
log|y|=x/y-log|x| +C
となっていますが、(1/y)はxの関数ですから
dx/yは積分してもx/yにはなりません。
y'=f(y/x)の形の微分方程式は、#1さんの回答の通り、
同次形の微分方程式であり、下記サイトの同次形の
項で勉強するといいでしょう。
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E5%B8%B8%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#.E5.90.8C.E6.AC.A1.E5.BD.A2

お礼

回答ありがとうございます。
リンク拝見させていただきました。　リンクにある例題についての質問なんですが、
z=y/x
y=zx
y'=z'x+z とあるのですが、これは何についての微分なのかがよくわからなくて。。。微分＝お互いに関係する変数が2つあって、片方をちょっとずらしたときにもうかたほうがどれくらいずれるか　ということと理解してるのですが、この場合はどういうことでしょうか？

補足

自力で解決できました。　ありがとうございます。

回答No.1

Ae610

y'=1-(y/x)
一階微分方程式を解いているのだから、一つの任意常数Cが含まれるはずである。
同次型の微分方程式の解法(例えばy=xuと置いて)で解けると思う。

解は
y = x/2－C/2x (Cは任意常数)