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1階線形微分方程式について

こんばんは。よろしくお願いします。 微分方程式で、下記の y’/y = α/(1-x) を解こうと昔の教科書を紐解いているのですが、 一向に進みません。 両辺にdxをかけてy、xで積分して logy = α/2・x^2-αx+C      ↓ y = e^(α/2・x^2-αx+C) まで出たのですが、右辺の()内が2次式になってて ここで行きづってしまいました。 この後ってどうすればよいのでしょうか? どうぞ教えてください。

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  • 回答No.4
  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)

y’/y = α/(1-x) は(x-1)y’+α・y=0 と変形できます。 両辺に(x-1)^(αー1)を掛けると、 (x-1)^α・y’+α(x-1)^(αー1)・y=0 y’、yにかかっているものが導関数の関係にあるので、積の微分か ら、 ((x-1)^α・y)’=0 (x-1)^α・y=C(定数) y=C/(x-1)^α あるいはy’/y = α/(1-x)の両辺をそのまま積分しても、 logy=-αlog(1-x)+C =log1/(1-x)^α・e^C より、y=1/(1-x)^α・e^C となって同じになります。(e^Cを新しく定数Cとみる。) 正確には絶対値をつけて考えるのでしょうけど。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.3
noname#101087
noname#101087

ミスってました。 ----------------  dy/y = {α/(1-x)}dx の左辺の積分{Ln(y)} はOK です。 同様にして、右辺も対数関数になるのでは?

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  • 回答No.2
noname#101087
noname#101087

 dy/y = {α/(1-x)}dx の左辺の積分{Ln(x)} はOK です。 同様にして、右辺も対数関数になるのでは?

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  • 回答No.1
  • F_P_E
  • ベストアンサー率43% (26/60)

はじめまして。 変数分離するところまではいいのですが、右辺のxの積分を間違えて実行しているのではないでしょうか。 また、どうでもいいことですが、これは線形微分方程式にはなっていないと思います。 がんばってくださいね^^

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