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2階線形同次微分方程​式

以下の問題の解き方が理解できません。 途中の計算なども詳しく教えて頂けると幸いです。 (1) 2階線形同次微分方程式の関数と,二つの関数y1とy2および初期条件の対が与えられている.最初に二つの関数y1とy2が微分方程式の解であることを確認せよ.次に,初期条件を満たす特殊解を求めよ. (1) y''-y=0; y1=e^x, y2=e^-x; y(0)=0, y'(0)=5 (2) y''+4y=0; y1=cos2x, y=sin2x; y(0) = 3, y'(0)=8 (3) y''-3y'+2y=0; y1=e^x, y2=e^2x; y(0)=1, y'(0)=0

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いずれも 2 次。 (3) をサンプルに堅実な手口で。 ほかも同様…なので割愛。 >(3) y''-3y'+2y=0; y1=e^x, y2=e^2x; y(0)=1, y'(0)=0 「最初」に「方程式の解であることを確認」  y1=e^x → y1'=e^x → y1''=e^x  …(1)  y2=e^(2x) → y2'=2e^(2x) → y2''=4e^(2x)  …(2)      ↓ (1) を原方程式へ代入。  y''-3y'+2y = e^x - 3e^x + 2e^x = 0  … OK (2) を原方程式へ代入。  y''-3y'+2y = 4e^(2x) - 6e^(2x) + 2e^(2x) = 0  … OK 一般解は、  y = C1e^x + C2e^(2x)  y' = C1e^x + 2C2e^(2x) らしいから、これに「初期条件」 y(0)=1, y'(0)=0 を代入し、  1 = C1 + C2  …(3)  0 = C1 + 2C2  …(4) 残務は、(3), (4) から {C1, C2} を勘定すること…だけ。   

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  • 回答No.3
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

>以下の問題の解き方が理解できません。 解き方がわからないのなら、教科書で復習された方がよいと思います。 解き方 >二つの関数y1とy2が微分方程式の解であることを確認せよ. y1,y2を方程式の左辺に代入して=0となることを示せばよい。 >初期条件を満たす特殊解を求めよ.  y=C1*y1+C2*y2 ...(※) の式にy(0),y'(0)の初期条件を代入して得られるC1,C2の式をC1,C2の連立方程式として解き、(※)に代入すれば特殊解になります。 やってみて、分からなければ、補足にやったところまでの途中計算を書いて、行き詰まっているところについて質問してください。

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はい分かりました。

  • 回答No.2

>いずれも 2 次。 微分方程式では「2 階」というそうで…。   

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