ロンスキアンを使って線形微分方程式を解く

質問

y'' + 6y' + 10y = 2sin(x)
の演算子法による解き方はここで教えてもらいました。
　解を求めるだけなら特別解 v を
　　v = Asin(x) + Bcos(x)
と仮定することでとても簡単に解けます。今度はこの特別解
　　v = 2sin(x)/13 - 4cos(x)/39 ・・・・・(#)
をロンスキアンを使った公式

　　v = -y1∫y2・sin(x)/W dx + y2∫y1・sin(x)/W dx
　　W = y1y2' - y2y1'

を使って求めてみましたが、結果が(#)と一致しません。どこがおかしいのでしょうか。
　　y'' + 6y' + 10y = 0
の一般解は
　　y0 = C1e^(-3x)cos(x) + C2e^(-3x)sin(x)
なので
　　y1 = e^(-3x)cos(x)
　　y1' = -3e^(-3x)cos(x) - e^(-3x)sin(x)
　　y2 = e^(-3x)sin(x)
　　y2' = -3e^(-3x)sin(x) + e^(-3x)cos(x)
とすると
　　W = y1y2' - y2y1'
　　　= e^(-3x)cos(x){ -3e^(-3x)sin(x) + e^(-3x)cos(x) }
　　　- e^(-3x)sin(x){ -3e^(-3x)cos(x) - e^(-3x)sin(x) }
　　　= - 3(e^(-3x))^2・sin(x)cos(x) + (e^(-3x))^2・(cos(x))^2
　　　　- { - 3(e^(-3x))^2・sin(x)cos(x) -　(e^(-3x))^2・(sin(x))^2 }
　　　= e^(-6x){ cos^2(x) + sin^2(x) } = e^(-6x)

　　y2・sin(x)/W = e^(-3x)sin(x)/e^(-6x) = sin(x)/e^(-3x) = sin(x)・e^(3x)
　　y1・sin(x)/W = e^(-3x)cos(x)/e^(-6x) = cos(x)/e^(-3x) = cos(x)・e^(3x)

　　∫sin(x)・e^(3x) dx = -(1/10)e^(3x)( cos(x) - 3sin(x) )
　　∫cos(x)・e^(3x) dx =　(1/10)e^(3x)( sin(x) - 3cos(x) )

　　v = -y1∫y2・sin(x)/W dx + y2∫y1・sin(x)/W dx
　　　= e^(-3x)cos(x)(1/10)e^(3x)( cos(x) - 3sin(x) )
　　　+ e^(-3x)sin(x)(1/10)e^(3x)( sin(x) - 3cos(x) )
　　　= (1/10)( cos^2(x) - 3sin(x)cos(x) + sin^2(x) - 3sin(x)cos(x) )
　　　= (1/10)( 1 - 6sin(x)cos(x) )

　これが特別解なのかなと思って
　　y　= (1/10)( 1 - 6sin(x)cos(x) )
　　y' =　(6/10)( sin^2(x) - cos^2(x) )
　　y'' = (6/10)( - 4sin(x)cos(x) )
なので
　　y'' + 6y' + 10y
に放り込もうと思ったのですが 2sin(x) になりそうもありません。
　単なる計算ミスかと思って、読み返しているのですが、見つけられません。

追記
　　v = -y1∫y2・sin(x)/W dx + y2∫y1・sin(x)/W dx
　　W = y1y2' - y2y1'
の公式は、問題を解くという点に関しては、あまり役立たないのではないでしょうか？

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

y"+6*y'+10*y=2*sin(x) とします。
※詳細は見ていませんが結果があわないのであればおそらくどこかに計算ミスがあるものと思います。
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公式に代入するのではなく、公式を「導く」手順で計算してみます。
まず、同次方程式の解は、
y=A*e^(-3x)*c+B*e^(-3x)*s. (以下、c=cos(x), s=sin(x)).
ですから、A=A(x), B=B(x) として、
y'=A'*e^(-3x)*c+A*(-3)*e^(-3x)*c-A*e^(-3x)*s
+B'*e^(-3x)*s+B*(-3)*e^(-3x)*s+B*e^(-3x)*c. となりここで、
A'*c + B'*s = 0 ...(*) をみたすように、A(x), B(x) を選ぶとします。
このもとで y" を計算して与式に代入することにより、
(-3c-s)*A' + (c-3s)*B' = 2*e^(3x)*s ....(**)
を得ます。(*), (**) を連立させて解くことにより、
A'=-2*e^(3x)*s^2=-e^(3x)*{1-cos(2x)}, B'=2*e^(3x)*sc=e^(3x)*sin(2x).
となります。これより A, B を求めることにより原方程式の一般解は、
y(x)=e^(-3x)*{A*cos(x)+B*sin(x)} - (4/39)*cos(x)+(2/13)*sin(x).
となります。(Wronskian の利用と同じです)
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この場合の特殊解は、y=p*cos(x)+q*sin(x) なる形であり、すぐに p, q がわかりますが、本来の解き方(定数変化法)により計算しておけば(同じ型の))どのようなときにも対応できます。

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。計算の手間は似たようなものですね。