微分方程式の問題なのですが・・・

質問

y´´+2y´+y=25sins2x ,y（0）=y´（0）=0 をとけという問題です。（下が解答です）
Y´´+2Y´+Y=25e^2ix　をといてy=ImYとすればよい。（i=虚数単位）
Y=ae^2ix　にして代入する　　　
左辺=（-4a+4ia+a）e^2ix
=（-3+4i）ae^2ix
=25e^2ix であればよい。
　　（-3+4i）a=25
a=25/-3+4i=-3-4i
Y=(-3-4i)e^2ix
=(-3-4i)(cos2x+isin2x)
y=ImY=-3sin2x-4cos2x
∴求める解は
y=(α+βx)e^-x -3sin2x-4cos2x
y(0)=α-4=0
以下省略・・・・・
(1)Y=(-3-4i)(cos2x+isin2x)まではわかるのですが、そこからy=ImY=-3sin2x-4cos2xというところがなぜそうなるかわかりません。Imというのは虚部だと思うのですがどういう計算をしているのかがわかりません
(2)y=(α+βx)e^-x -3sin2x-4cos2xの(α+βx)e^-xというのはどこから出てきたのでしょうか？
教えてください

回答No.1

noname#38829 · ベストアンサー

(1)
Y=(-3-4i)(cos2x+isin2x)
ですが、きちんと実部と虚部で計算すると虚部(iつきの部分)は
(-4i)*cos2x + (-3)*(isin2x)になりますね。これ以外は
実部にかかわる計算です。
虚部を取るというのでこのiをなくした -4cos2x -3sin2xが
答えです。

(2)の関しては、
y´´+2y´+y =0
として解いた一般解ではないでしょうか。

一般解と特解を足した答えが微分方程式の解になります。