非同次微分方程式(記号解法)

質問

こんばんは！
記号解法が分かりません＞＜分かる方お願いします＞＜

(D^2+9)y=cos3x　の一般解を求めよ

という問題なのですが、特殊解が合いません。

わたしの解答は
特殊解：　1/f(D)cos3x=x^2sin3x/6
一般解：　y=C1cos3x+(C2+x^2/6)sin3x

なのですが、答えは
一般解：　y=C1cos3x+(C2+x/6)sin3x

でした。
どこでxの2乗が1乗になったのかがわかりません。

あと、(D^2-6D+10)y=5x^2-x+3 の場合はどうやって解くのでしょうか^^;
各項を分けて計算し足し合わせるのは分かるのですが、右辺にeが出ていない場合の解き方がわかりません。
eが0乗であると考えて

1/f(D)*5x^2=5*1/D^2-6D+10*x^2

としても1/100等が出てきて答えに合いませんでした。

よろしくおねがいします＞＜

回答No.2

Tacosan

f(D) = D^2+9 だから f(s) = s^2+9 ですね.
「3iはf(s)=0の2重根」(2重「根」? ここは「解」でいいのでは? まあいいけど) ということは, (f(s) が s の 2次式だから)
f(s) = s^2+9 = (s-3i)^2
と因数分解できる, と思っているということですね?

本当ですか?

「f^(m)(iB)=f^(2)(iB)で、(D^2+9)'=2D なのでDに3iを代入し分母を6iとしました。」もおかしいでしょ? なんで (D^2+9)' なの? m=2 としたなら, ここは 2階微分ですよね.

回答No.1

Tacosan

上については
1/f(D)cos3x=x^2sin3x/6
をどう導いたのでしょうか? 2乗が出てくる余地はないはずです.

下はいくつかやりかたがあると思うけど, 例えば
1/(D^2-6D+10) = (1/10){1/[1-(3/5)D+(1/10)D^2]} として {} 内を展開する
方法があります.
1/[1-(3/5)D+(1/10)D^2] = 1 - [-(3/5)D+(1/10)D^2] + [-(3/5)D+(1/10)D^2]^2 - ...
だけど, これを適用するのは 5x^2-x+3 だから D^2 まで求めれば十分で
1 + (3/5)D + (1/10)D^2 + (9/25)D^2 = 1 + (3/5)D + (13/50)D^2.
つまり全体として
{[1 + (3/5)D + (13/50)D^2]/10}(5x^2-x+3)
を計算すればいい.

お礼

ありがとうございます！

x^2ですが、公式に沿ったら出てきました。

―公式―
iBがf(s)=0のm重根のとき、
1/f(D)cosBx=x^m*Re{e^iBx/f^(m)(iB)}

3iはf(s)=0の2重根なのでm=2でx^2が出てきました。
f^(m)(iB)=f^(2)(iB)で、(D^2+9)'=2D なのでDに3iを代入し分母を6iとしました。

下は理解できました！
ありがとうございます！