∫1/(z-1)dz C:|z|=1 の求め方

質問

次のように考えてみました。
z=1は不正則点であるので、z=cosθ+isinθ (0＜θ＜2π)とおき、
∫1/(z-1)dz
=∫[0→2π]1/(cosθ+isinθ-1)dz/dθdθ
=∫[0→2π](-sinθ+icosθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ){cosθ-(isinθ-1)}/(cosθ+isinθ-1){cosθ-(isinθ-1)}dθ
=∫[0→2π]i{(cosθ)^2-isinθcosθ+cosθ+isinθcosθ+(sinθ)^2+isinθ}/{(cosθ)^2-(isinθ-1)^2}dθ
=∫[0→2π](1+isinθ+cosθ)/2sinθdθ
=1/2∫[0→2π]1/sinθdθ+i/2∫[0→2π]dθ+1/2∫[0→2π]cosθ/sinθdθ
=1/2[log|tanθ/2|][0→2π]+i/2[θ][0→2π]+1/2[log|sinθ|][0→2π]
=πi

以上のような考え方でよろしいのでしょうか？宜しくお願い致します。

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

まづ、A No.5 のミスプリを陳謝。
lim[z→1+0i] log(z-1) = (-∞) + (1/2)πi,
lim[z→1-0i] log(z-1) = (-∞) + (3/2)πi
でした。

No.5 補足の計算については、既に
＞ その２個の lim は、広義積分の両端を表すので、
＞ それぞれ別個に収束する必要があり、
＞ 適当に組み合わせて条件収束させたのでは
＞ いけないのです。
と述べたとおりです。

３行目から５行目への変形は、
{ lim[z→1-0i] log|z-1| } - { lim[z→1+0i] log|z-1| }
= lim[h→0] { log h - log h }
という計算を含んでいますが、

高校数学でも習ったとおり、
(lim an) - (lim bn) = lim(an - bn) という計算が成り立つのは、
lim an と lim bn が両方とも収束する場合だけです。
一方でも発散したら、この式は成立しません。

例えば、lim[x→1] 1/(1-x) - lim[x→1] x/(1-x) の値は、
= 1 で ok ですか？ そうではないでしょう？

log0i は -∞ に発散するので、
log0i - log0i は ∞-∞ 型の不定形であり、
= 0 とすることはできないのです。ここが間違っています。

お礼

alice_44様何度もご丁寧にご説明いただきまして、本当に感謝致しております。これを機にさらに数学を自分なりに探究していければと思います。ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

例えば、log(z-1) として、
log(-2) = (実 log 2) + πi
となるような枝を選ぶと、
lim[z→+0i] log(z-1) = (-∞) + (1/2)πi,
lim[z→-0i] log(z-1) = (-∞) + (3/2)πi
です。
よって、問題の積分は、発散します。

質問文中の計算は、∫dθ/sinθ を正しく処理すると、
実部に ∞-∞ の不定形が生じるのでした。

その２個の lim は、広義積分の両端を表すので、
それぞれ別個に収束する必要があり、
適当に組み合わせて条件収束させたのでは
いけないのです。

ただ、積分路上に人食い点があるだけでは、
問題の式によく似た ∫dz/√(z-1) なんかは
収束してしまいますから、
発散を示すために、何らかの計算は必要なのです。

お礼

alice_44様ご丁寧なわかりやすいアドバイスありがとうございます。
私なりに「 lim[z→1-0i] log(z-1) - lim[z→1+0i] log(z-1) 」を求めてみました。
lim[z→1-0i] log(z-1) - lim[z→1+0i] log(z-1)
= lim[z→1-0i] {log|z-1|+iarg(z-1)} - lim[z→1+0i] {log|z-1|+iarg(z-1)}
= {log|-0i|+iarg(-0i)} - {log|+0i|+iarg(+0i)}
= (log0i+2πi) - (log0i+0i)
= 2πi
以上のような求め方により、
lim[z→1-0i] log(z-1) - lim[z→1+0i] log(z-1) = 2πi
となりました。
alice_44様のアドバイスの「問題の積分は、発散します。」になりませんでした。
誠に申し訳ございません。ぜひとも、アドバイスお願いできればと思います。

回答No.4

alice_44

z = 1 + cosθ + i sinθ と置いたのでは、
積分路が |z| = 1 にならないのでは？

お礼

alice_44様ありがとうございます。先程、「z = 1 + cosθ + i sinθ と置いたのでは、積分路が |z| = 1 にならない」とふと気付いたところでした。
先日アドバイスいただきました「lim[z→1-0i]log(z-1)-lim[z→1+0i]log(z-1)」はさらに解を求めることができるのでしょうか？何度も大変申し訳ございませんが、アドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。

回答No.3

alice_44

積分路 ｜z｜=1 上の点 z=1 において
被積分関数が非正則なので、
問題の積分は、広義積分と解釈せざるをえません。
とすると、積分路は、｜z｜=1 ただし z≠1
だということになります。
この曲線は、複素平面から半直線 z≧1 を除いた
領域に含まれます。
∫dz/(z-1) は、この領域上で一意正則に
積分できて、log(z-1) の一つの枝になります。
あとは、広義積分の端の処理として
lim[z→1-0i]log(z-1) - lim[z→1+0i]log(z-1)
を求めれば ok。
積分路によって、z→1 の接近する方向が
指定されていることを理解しましょう。

お礼

alice_44様ありがとうございます。
z=1+cosθ+isinθとおくことで、解2πiを求めることができました。

回答No.2

info22_

積分経路C:|z|=1上に特異点z=1が乗っていますが、問題が合っていますか？
問題を確認下さい。

お礼

info22_様ありがとうございます。
z=1+cosθ+isinθとおくことで、解2πiを求めることができました。

回答No.1

alice_44

θ=π を含む区間で ∫dθ/sinθ を行ったことに
問題があります。

お礼

alice_44様ありがとうございます。
z=1+cosθ+isinθとおくことで、解2πiを求めることができました。