tan(z)を=π/2を中心にローラン展開する上で

質問

tan(z)を=π/2を中心にローラン展開する上で、

z=π/2+0.001として、

tan(z)をローラン展開して
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
としたのですが、

どうやって
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
から
=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・
と導いたのでしょうか？

また、
a(2) (z-π/2)^2の値はどうやって導いたか教えて頂けないでしょうか。

どうか過程の式を教えて頂けないでしょうか。

また、
「tan(z)をローラン展開して
tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・」を解答に書いて頂いた上で、
「訂正です0でない第2項はa(1)の項でした」と書かれていたのですが、意味がわかりませんでした。

どういう意味か教えて頂けないでしょうか？

と言う質問において、
以下のような解答をいただいたのですが、

「tan z を z = π/2 中心にローラン展開するんですね？

まず、z = π/2 の特異点を分類します。
tan z = (sin z)/(cos z),
z = π/2 で sin z は正則、cos z は 1 位の零点を持ちますから、
z = π/2 は tan z の 1 位の極になります。

確認しましょうか。
lim[z→π/2] (z - π/2)^1 tan z
= lim[z→π/2] (sin z)/{ cos z - cos(π/2))/(z - π/2) }
= sin(π/2)/cos’(π/2)
= sin(π/2)/{ -sin(π/2) }
= -1.
確かに、有限値に収束しています。

よって、z = π/2 を中心とする tan z のローラン展開は、
適当な係数 c_k を置いて
tan z = Σ[k=-1→∞] (c_k)(x - π/2)^k と書けます。

次に、この各 c_k を求めます。
No.1 の式を両辺を (z - π/2) 倍すると
(z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(x - π/2)^j です。　←[2]
この式は、
(z - π/2) tan z の z = π/2 を中心とするテイラー展開になっていますね？

g(z) = (z - π/2) tan z と置いて、g(z) をテイラー展開しましょう。
[2] の式を z で m 回微分すると
(d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = Σ[j=m→∞] (c_(j-1))(jPm)(x - π/2)^(j-m) で、
z→π/2 の極限を取れば
lim[z→π/2] (d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = c_(m-1) (m！) となります。

この式を使って、実際に c_k をいくつか求めてみましょう。
c_(-1) = lim[z→π/2] (d/dz)^0 { (z - π/2) tan z }/(0！)
　　　= lim[z→π/2] { (z - π/2) tan z }/1
　　　= -1,
c_0 = lim[z→π/2] (d/dz) { (z - π/2) tan z }/(1！)
　　= lim[z→π/2] { 1tan z + (z - π/2)/(cos z)^2 }/1
　　= lim[z→π/2] { (sin z)(cos z) + (z - π/2) }/(cos z)^2
　　= lim[z→π/2] { (d/dz) { (sin z)(cos z) + (z - π/2) } }/{ (d/dz) (cos z)^2 }
　　= lim[z→π/2] { cos(2z) + 1 }/{ - sin(2z) }
　　= ( -1 + 1 )/(-1)
　　= 0,
c_1 = lim[z→π/2] (d/dz)^2 { (z - π/2) tan z }/(2！)
　　= lim[z→π/2] (d/dz) { tan z + (z - π/2)/(cos z)^2 }/2
　　= lim[z→π/2] { 2/(cos z)^2 + (z - π/2)(2 sin z)/(cos z)^3 }/2
　　= lim[z→π/2] { (cos z) + (z - π/2)(sin z) }/(cos z)^3
　　= lim[z→π/2] { (d/dz) { (cos z) + (z - π/2)(sin z) } }/{ (d/dz) (cos z)^3 }
　　= lim[z→π/2] { (z - π/2)(cos z) }/{ 3 (cos z)^2 (- sin z) }
　　= lim[z→π/2] (-1/3)(1/sin z)/{ (cos z - 0)/(z - π/2) }
　　= (-1/3)(1/1)/{ -1 }
　　= 1/3.
けっこう面倒くさいけれど、ロピタルの定理を多用すればイケますね。
この調子で、どんな k についても c_k の値は根性出せば求められます。
c_k の一般項を k の式で書き下すのは、おそらく無理っぽいけど。」

といただいたのですが、
どの部分が
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
から
=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・
の式より、
a(2) (z-π/2)^2が(1/3)(z-π/2)と導いたことを説明しているのでしょうか？

また、「c_k の一般項を k の式で書き下すのは、おそらく無理っぽいけど。」と書かれていますが、なぜc_k の一般項を k の式で書き下すのは、おそらく無理なのでしょうか？
また、c_k の一般項を k の式で書き下すとはどう言う意味でしょうか？

どうかわかりやすく教えて下さい。
どうかよろしくお願い致します。

回答No.2

pfarm

tan(z)をz=π/2を中心にローラン展開すると、

tan(z) = Σn=0^∞(a(n)(z-π/2)^n)

と表せます。ここで、z=π/2 は tan(z) の 1 位の極であるため、展開の範囲は z=π/2 の近傍となります。

また、z=π/2+0.001 のとき、z-π/2 = 0.001 となります。

a(0) については、tan(z) が z=π/2 で極を持つため、
a(0) = Res[tan(z), z=π/2] = lim[z→π/2] (z-π/2)tan(z) = -1

a(1) については、
a(1) = Res[tan(z)/(z-π/2), z=π/2]
= lim[z→π/2] [(z-π/2)tan(z)]/(z-π/2)
= lim[z→π/2] tan(z)
= tan(π/2+0.001) （この値を求めることはできますが、複雑なのでここでは省略します）

a(2) については、
a(2) = Res[tan(z)/(z-π/2)^2, z=π/2]
= lim[z→π/2] [(z-π/2)^2tan(z)]/((z-π/2)^2)
= lim[z→π/2] (z-π/2)tan(z)
= -0.99950... （tan(π/2+0.001) を使用）

以上より、

tan(z) = -1/(z-π/2) - (1/3)(z-π/2) + O((z-π/2)^3)

となります。

「訂正です0でない第2項はa(1)の項でした」というのは、誤植かもしれません。おそらく「訂正です、0次の項は-1でした」という意味だと思われます。

回答No.1

gamma1854

f(z)=tan(z) について。
z - pi/2=u とおくと f(z)=-cos(u)/sin(u)
= -{1 - u^2/2!+u^4/4! - ...}/{u - u^3/3! + u^5/5! -...}
= -1/u + (1/3)u + (1/45)u^3 + (2/945)u^4 + ...
(0<|u |<pi)
です。
-------------------------------
※ 1/sin(u) = 1/u + c[2]*u + c[4]*u^3 + ...
とおいて分母を払いc[k]を求めます。