1/{z^2*(z^2+1)}のローラン展開

質問

1 / { z^2*( z^2+1 ) }の(z=0 , 0<|z|<1)におけるローラン展開についてです。

僕はローラン展開の方法を「式を分解して、分母が1次式にして計算する方法」しか知らないのですが、これで合っているのでしょうか。（以下の式のΣの範囲は全て[n=0 ->∞]です。)

（与式） = 1/z^2 -i/2 * { 1/ (z-i) - 1/(z+i) }と分解し計算していくと

1/z^2 - 1/2*{ Σ(z/i)^2 + Σ(-z/i)^2 }となり、最終的に
1/z^2 + Σ{ (-1)^(n-1) * z^2n }となりました。

しかし回答には、
Σ{ (-1)^n * z^(2n-1) }とあります。

これって間違っているのでしょうか。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

1/(z+1)=1-z+z^2-z^3+z^4-z^5+... (0<|z|<1)

1/(z^2+1)=1-z^2+z^4-z^6+z^8-z^10+...

1 / { z^2*( z^2+1 ) }=z^(-2)-1+z^2-z^4+z^6-z^8+...
=Σ[n=0->∞]{ (-1)^n * z^(2n-2) }

お礼

ありがとうございます。