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z^3 * sin(1/z)のローラン展開

z^3 * sin(1/z)を(z=0)てローラン展開したいのですが、わかりません。 普通のものはできるのですが(ちゃんと理解できてませんが)、三角関数が入ってくると全くわからなくなってしまいました。 0<= z <= ∞の範囲では z^3 * Σ { (-1)^(n-1) * z^(2n-1) } / (2n+1)! になるのはわかるのですが、 n<0の範囲の値をどう求めたらいいのかわかりません。 ご存じの方がいれば教えて頂けるとうれしいです。 よろしくお願いします。

  • mist55
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回答No.1

sin(z)=z-z^3/3!+z^5/5!-z^7/7!+z^9/9!+... sin(1/z)=1/z-1/(3!*z^3)+1/(5!*z^5)-1/(7!*z^7)+1/(9!*z^9)+.... =z^(-1)-(1/3!)*z^(-3)+(1/5!)*z^(-5)-(1/7!)*z^(-7)+(1/9!)*z^(-9)+.... z^3*sin(1/z)=z^2-1/3!+(1/5!)*z^(-2)-(1/7!)*z^(-4)+.... =z^2-1/6+(1/120)*z^(-2)-(1/5040)*z^(-4)+(1/362880)*z^(-6) +.... =Σ[n=1,∞] { (-1)^(n-1) * z^(4-2n) } / (2n-1)!

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