ローラン展開について教えて下さい。

質問

ローラン展開はテイラー展開とは異なり、留数や特異点でも式を展開することが可能なものですが、
これの使い方がどうしても分かりません。
もちろん書籍で調べたり、ネットで検索してもどうしても分からなかったので教えて下さい。

http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/complex-function/20081015/node1.html

級数展開して、それぞれの級数の係数の計算の仕方についてですが、
上記のページの上から4つめの式に表されるように、元の式を(z-c)^{n+1}で割ったものを|z-c|=Rで積分することで求められますが、
このRという定数はどこからやってくるのでしょうか？

それとこの積分はf(z)の式によっては解くのが非常に難しい積分になることもあり得ますが、
そういう場合にはどうやって計算するのでしょうか？

具体的な計算を見てみたいのですが、
リンク先である
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/complex-function/20081015/node2.html

では、露わに上記の積分の計算を行わずに、ローラン展開を行っています。
書籍などを見てみても、上記の積分をしている例題が見つかりませんでした。

一体ローラン展開はどうやってやれば良いのでしょうか？

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

質問が３つあるので（クエスチョンマーク３つ），
上から (1), (2), (3) と番号を付け，(1) -> (3) -> (2) の順で答えます．

(1)
R は任意の正数でよいです．

k番目の係数 a_k がこれで計算できる理由を考えればよいのですが，
　∫[|z-c|=R] dz/(z-c)^k = 2πi (k = 1), 0 (k ≠ 1)
という式が，任意の整数 R について成り立ちます．
（コーシーの積分定理と合わせて確認してください）．
f(z) = Σ[n=-∞,∞] a_n (z-c)^n という式があれば，
(z-c)^{k+1} で割って積分すると，上の積分の式から a_k の項以外が
全部消える，という理屈なので，R は任意です．

(3)
「ローラン展開の一意性」というものがあります．
これは「ローラン展開可能な関数のローラン展開は一意」というもので，
どのような方法で展開しても正しい展開が得られることを保証します．
その例題では，1/(1-z) = 1 + z + z^2 + ... という
良く知られた等式を用いてローラン展開を計算していますが，
積分を計算するのは面倒なので，試験などで出てくる問題では
こういう方法を組み合わせて展開することのほうが多いです．
複素積分を陽に計算するのは最終手段です．

(2)
1/(1-z) などの組合せも使えず，複素積分もよくわからない．
そんな場合は事実上「お手上げ」で，諦めるしかありません．
（近似値で良ければ数値計算するとかになります）．
実際，ローラン展開の係数が陽に分かっていない関数は大量にあるので，
そういうものが出てきたとき，改めて考えるのが吉だと思います．

お礼

回答ありがとうございます。

陽に計算しないというのが普通なのですね。

後、３つお聞きしてもよろしいでしょうか？

１．少し勘違いしているかも知れませんが、∫[|z-c|=R] dz/(z-c)^k = 2πi (k = 1), 0 (k ≠ 1)
の計算というのは留数定理を用いて計算してa_kを計算するのではないのでしょうか？
中に特異点があり、その周りで積分するということは留数さえ分かっていれば計算出来ると思うのですが、この計算は難しいのでしょうか？
（もしかすると解析学が分かっていないかも知れません。）

２．このローラン展開というのは特異点以外では計算することは出来ないのでしょうか？

３．ローラン展開はテイラー展開を一般化したものでローラン展開に何か極限をとることでテイラー展開になるのではないかと思うのですが、これは可能でしょうか？
それともテイラー展開とは全く異なるものであると考えるしかないのでしょうか？

上記の３つの質問、よろしくお願いいたします。

回答No.3

PRFRD

No.1へのコメントについて：
１．
留数を求めるのとローラン級数展開を求めるのは，同じようなものです．
ローラン展開できる関数なら留数は簡単に求まりますし（対応する項を見るだけ），
留数が簡単に計算できる関数なら，大体ローラン展開も簡単に求まります．
＃つまり，留数が簡単に計算できない関数がたくさんあるということです．

２，３はNo.2さんと同じです．

回答No.2

Tacosan

２と３にまとめて答えると,
特異点のまわりでなくてもローラン展開は可能だけど, その結果はテイラー展開と一致します. そういう意味の「一般化」であって, 極限は関係ありません. というか, 何について極限をとるんだろう?