ローラン級数展開について

質問

f(z)=1/{(z-1)(z-2)}をz=0を中心とするローラン級数に展開せよ
なお、領域を|z|<1とする。

という問題があるのですが、これはどのように解けばいいのでしょうか。

ローラン級数展開というのは、中心点が非正則であるときに使えるものだと覚えましたが、問題を見る限りだと非正則点は1,2なので、頭がこんがらがってしまいました。

解説をよろしくお願い致します。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

f(z)は領域|z|<1内で正則であるから、f(z)のz=0のまわりのローラン級数展開は、
単なるf(z)のz=0のまわりのテーラー級数展開と同じものになります。
f(z)を部分分数分解して
f(z)=1/(z-2) -1/(z-1)
f1(z)=1/(z-2)とf2(z)=-1/(z-1)のそれぞれについてz=0のまわりにテーラー級数展開して、両者を加えれば良いでしょう。

f1(z)=-1/2 -z/4 -z^2/8 -z^3/16 -z^4/32 - ...　（|z|<1）
f2(z)=1+z+z^2 +z^3 +z^4 + ...　（|z|<1）
辺々加えて
f(z)=(1/2)+(3/4)z+(7/8)z^2 +(15/16)z^3 +(31/32)z^4 + ... +{(2^(n+1)-1)/2^(n+1)}z^n + ...　（|z|<1）
これが答えになります。

お礼

理解することが出来ました！ありがとうございました