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ローラン級数展開について
f(z)=1/{(z-1)(z-2)}をz=0を中心とするローラン級数に展開せよ なお、領域を|z|<1とする。 という問題があるのですが、これはどのように解けばいいのでしょうか。 ローラン級数展開というのは、中心点が非正則であるときに使えるものだと覚えましたが、問題を見る限りだと非正則点は1,2なので、頭がこんがらがってしまいました。 解説をよろしくお願い致します。
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f(z)は領域|z|<1内で正則であるから、f(z)のz=0のまわりのローラン級数展開は、 単なるf(z)のz=0のまわりのテーラー級数展開と同じものになります。 f(z)を部分分数分解して f(z)=1/(z-2) -1/(z-1) f1(z)=1/(z-2)とf2(z)=-1/(z-1)のそれぞれについてz=0のまわりにテーラー級数展開して、両者を加えれば良いでしょう。 f1(z)=-1/2 -z/4 -z^2/8 -z^3/16 -z^4/32 - ... （|z|<1） f2(z)=1+z+z^2 +z^3 +z^4 + ... （|z|<1） 辺々加えて f(z)=(1/2)+(3/4)z+(7/8)z^2 +(15/16)z^3 +(31/32)z^4 + ... +{(2^(n+1)-1)/2^(n+1)}z^n + ... （|z|<1） これが答えになります。
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お礼
理解することが出来ました！ありがとうございました