ローラン級数

質問

今ローラン級数についての問題を解いていたのですが、次の問題がどうしても解けないので教えて下さい。
問題はf(z)＝１／(e^z-1)というものです。
ｆ(z)＝Σ(n=-1→∞)Cn*Z^nの形で求めようと思うんですがCnが求まりません！ｆ(z)の留数なら求まるんですけどね～。だれか教えて下さい!!

回答No.1

nakaizu

Bernoulli(ベルヌーイ)数になります。nの簡単な式では表わせません。
ベルヌーイ数の定義は本によって多少の違いはありますが、代表的なのは次のようなものです。
1/(e^z-1)=1/x-1/2+Σ(-1)^(n-1)B(n)x^(2n-1)/(2n)!
ここでB(n)がベルヌーイ数です。
B(1)=1/6,B(2)=1/30,などです。
数学のあちらこちらで登場します。たとえば
Σ(k=1→m)k^(2n)
はmの多項式になりますが、その一次の係数がベルヌーイ数です。