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指数関数のべき級数について
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こんばんは。質問に対しての回答です。数式が多く出てきますので、紙と鉛筆を用意してメモ（計算）しながら読んでいってください。 ξ^2-(z-ξ)^2=2ξz-z^2 ですから、 exp^{ξ^2-(z-ξ)^2} = exp^{2ξz-z^2} = exp^{2ξz}×exp^{-z^2} となります。 ここで、exp^zのテイラー展開 exp^z=1+z/1!+z^2/2!+…+z^n/n!+… を利用してexp^{2ξz}とexp^{-z^2}をそれぞれ展開すると exp^{2ξz}=1+(2ξ)z/1!+(2ξ)^2z^2/2!+…+(2ξ)^nz^n/n!+… exp^{-z^2}=1-z^2/1!+z^4/2!+…+(-1)^nz^{2n}/n!+… となります。これらの２つの級数を掛け合わせて（コーシーの積級数） exp^{2ξz-z^2} = exp^{2ξz}×exp^{-z^2} = Σ[n=0～∞]{H_n(ξ)/(n!)}・z^n とします。ここで H_n(ξ)=(2ξ)^n-n(n-1)(2ξ)^{n-2}/1!+n(n-1)(n-2)(n-3)(2ξ)^{n-4}/2!+… です。このH_n(ξ)が (-1)^n×exp(ξ^2)×d^n/dξ^n×exp(-ξ^2) と等しいことを示します。 e^{2ξz-z^2}をn階微分してz=0を代入するとH_n(ξ)になりますから H_n(ξ)=[d^n/dz^n(exp^{2ξz-z^2})](z=0) です。よって d^n/dz^n(exp^{2ξz-z^2}) = d^n/dz^n(exp^{ξ^2-(z-ξ)^2}) = (-1)^n×exp(ξ^2)×d^n/dξ^n×exp(-ξ^2) よって、H_n(ξ)=(-1)^n×exp(ξ^2)×d^n/dξ^n×exp(-ξ^2) となって exp^{ξ^2-(z-ξ)^2}＝Σ[n=0～∞]{H_n(ξ)/(n!)}・z^n となります。
その他の回答 (2)
エルミートの微分方程式、y”-2ξy’+2ny=0 の解は、 n が整数の時、y＝H_n(ξ) です。 これと同じ解となる式を定積分から求めます。 今、y_n(ξ)＝{1/(2πi)}∫z^(-n-1)・e^{ξ^2-(z-ξ)^2}dz （積分路は原点を中心とする円）とすれば、 d(y_n)/dξ={1/(2πi)}∫2z^(-n)・e^{ξ^2-(z-ξ)^2}dz d^2(y_n)/dξ^2={1/(2πi)}∫4z^(-n+1)・e^{ξ^2-(z-ξ)^2}dz この二つの微分式を元の微分方程式に代入します。 {1/(2πi)}∫{(4z^2-4ξz+2n)・e^{ξ^2-(z-ξ)^2}・z^(-n-1)dz ＝{-2/(2πi)}∫(d/dz){z^(-n)・e^{ξ^2-(z-ξ)^2}dz＝0 y_n(ξ) が H_n(ξ) と一致するために掛けられるべき定数は、 ｙ＝(2ξ)^n-〔{n(n-1)}/1!〕(2ξ)^(n-2)+〔{n(n-1)(n-2)(n-3)}/2!〕(2ξ)^(n-4)-・・・・ より、偶数項、n を取り、 H_n(0)＝{(-1)^(n/2)・n!}/{(n/2)!} 一方、y_n(0)＝{1/(2πi)}∫z^(-n-1)・e^(-z^2)dz＝{(-1)^(n/2)}/{(n/2)!} 故に、H_n(ξ)＝y_n(ξ)・n! 留数の定理より、y_n(ξ) は、e^{ξ^2-(z-ξ)^2} を、z の冪級数に展開した時の z の係数であることが分かるので、 e^{ξ^2-(z-ξ)^2}＝Σ[n=0～∞]{H_n(ξ)/(n!)}・z^n ここでは、エッセンスしか書けませんでしたが、詳細をお知りになりたいときは、 特殊函数の図書をお読み下さい。
お礼
ere_Elbaさま ありがとうございます。 丁寧に書いていただきしっかり書き下してみたいと思います。
>e^{ξ^2-(z-ξ)^2}＝Σ[n=0～∞]{H_n(ξ)/(n!)}・z^nとあるのですが エルミート多項式の母関数です。 これで理解出来るか、わかりかねますが、 http://maverick.riko.shimane-u.ac.jp/files/quant3b/node4.html#417 に、みつかりました。 こちらは、母関数からエルミート多項式を定義しています。 が、しかし物理学を、おやりになるのであれば 特殊関数は、一通り身につけておいた置いた方が良いですよ。 ここのスペースで全貌を把握せよというわけには、いかないでしょう。 岩波書店・犬井鉄郎著“特殊関数” は良い本ですが、“品切重版未定”のようです。
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お礼
uzumakipanさま 紙とペンで理解しています。 詳しく書いていただきありがとうございました。