べきの係数について

質問

A＝Σ[n,m=0～∞]∫[-∞～∞]e^(-ξ^2)・{H_n(ξ)・H_m(ξ)}dξ・{(z_1^n・z_2^m)/(n!・m!)}

B＝(√π)・Σ[n,m=0～∞]{(2^n)/(n!)}・(z_1^n・z_2^m)・δ(n,m)

この時に z_1 と z_2 のべきの係数は等しいならば
∫[-∞～∞]e^(-ξ^2)・{H_n(ξ)・H_m(ξ)}dξ＝√π・{(2^n)・(n!)}・δ(n,m)となるようなのですが、{(z_1^n・z_2^m)/(n!・m!)}の(n!・m!)は
z_1 と z_2 の冪の係数に含めなくても良いのでしょうか？
すいません。
基本的なことかもしれませんが、この部分が理解できずにいます。
どうかアドバイスをよろしくお願いいたします。

回答No.1

uzumakipan · ベストアンサー

こんにちは。質問をするときは式に使われている記号の説明、その式事態の説明もするようにしてください。

H_n(ξ)はエルミート多項式で、この式はエルミート多項式の直行性の計算なのでしょうか？

さて、質問についてですが　ＡとＢのべき級数の係数が等しいならば

∫[-∞～∞]e^(-ξ^2)・{H_n(ξ)・H_m(ξ)}dξ ×{1/(n!・m!)} ＝√π・{(2^n)/(n!)}・δ(n,m)　・・・（ア）

ですね。δ(n,m)はクロネッカーのデルタですから問題なのは ｎ＝ｍ　のときです。 ｎ＝ｍ のとき　n!・m!＝(n!)^2 ですから、両辺に (n!)^2をかければ、求める式となります。

お礼

uzumakipanさま

質問の仕方が不適切であったためにお手数をおかけして申し訳ありませんでした。uzumakipanさまのご指摘のとおりでございます。

ご教示いただいた内容も丁寧で非常に分かりやすく助かりました。
ありがとうございました。

calmdei