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エルミート多項式のn次の項の積分
エルミート多項式のn次の項の積分についての質問です。 (Hn(ξ))^2×exp(‐ξ^2)を∞から‐∞までξについて積分すると 答えは2^n×n!×√πになるのですが、exp(‐ξ^2)の積分が√πになるのは分かるのですが(Hn(ξ))^2×exp(‐ξ^2)になると良く分からなく困っています。 どなたか導出方法をご教授していただけたら幸いです。 よろしくお願いいたします。 ちなみにHn(ξ)=(‐1)^n×exp(ξ^2)×d^n/dξ^n×exp(‐ξ^2) とありまして、dHn(ξ)/dξ=2n×Hn-1(ξ)という条件を使うと思うのですが・・・(Hn-1のn-1は下付きでn-1項目という意味です。)
- calmdei
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e^{ξ^2-(z-ξ)^2} を、z の冪級数に展開すると、 e^{ξ^2-(z-ξ)^2}=Σ[n=0~∞]{H_n(ξ)/(n!)}・z^n これから、 e^{ξ^2-(z_1-ξ)^2}・e^{ξ^2-(z_2-ξ)^2} =(Σ[n=0~∞]{H_n(ξ)/(n!)}・z_1^n)・(Σ[m=0~∞]{H_m(ξ)/(m!)}・z_2^m) 両辺に e^(-ξ^2) を乗じて、-∞~∞ の範囲で ξ で積分すると 左辺=∫[-∞~∞]e^{ξ^2-(z_1-ξ)^2-(z_2-ξ)^2}dξ=(√π)・e^(2・z_1・z_2) 右辺=Σ[n,m=0~∞]∫[-∞~∞]e^(-ξ^2)・{H_n(ξ)・H_m(ξ)}dξ・{(z_1^n・z_2^m)/(n!・m!)} 左辺の積分結果を展開すると、 (√π)・e^(2・z_1・z_2)=(√π)・Σ[n=0~∞]{(2・z_1・z_2)^n}/(n!) =(√π)・Σ[n,m=0~∞]{(2^n)/(n!)}・(z_1^n・z_2^m)・δ(n,m) 左辺と右辺の z_1 と z_2 の冪の計数は等しくなければならないので、 ∫[-∞~∞]e^(-ξ^2)・{H_n(ξ)・H_m(ξ)}dξ=√π・{(2^n)・(n!)}・δ(n,m) 従って、∫[-∞~∞]H_n(ξ))^2・eξp(‐ξ^2)dξ=√π・{(2^n)・(n!)}
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- Tacosan
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積分値を I(n) としたときに I(0) = √π かつ I(n) = 2n I(n-1) が証明できればいいんですよね? 思い付きだけですが, Hn(ξ)^2 exp(-ξ^2) = [(-1)^n d^n/dξ^n exp(-ξ^2)] [(-1)^n exp(ξ^2) d^n/dξ^n exp(-ξ^2)] として, 右辺を部分積分すればできないかなぁ?
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