1/u をべき級数展開しなくてもいい理由

質問

次の関数を括弧内の点を中心にべき級数展開せよ。
f(z) = cos z/(z-π)
(z=π)

z=πで正則でないからローラン展開する。
u=z-πとおくと、cos z/(z-π) = cos(u+π)/u。
したがって、

cos(u+π)/u = - (cos u)/u
= - 1/u Σ[n=0,∞] {(-1)^n}/(2n)! * u^(2n)

よって、
f(z) = Σ[n=0,∞] {(-1)^(n+1)}/(2n)! * (z-π)^(2n-1)

・・・という解答なのですが、
自分は1/uの部分も

a[n] = Σ[n=0,∞] {(-1)^n}/(z-π)

とテーラー展開して、

f(z) = - Σ[n=0,∞] {(-1)^n}/(z-π) * {(-1)^n}/(2n)! * u^(2n)

と計算してしまいました。
なぜ、この問題では 1/u の部分はべき級数展開しなくてもいいのですか？
おそらく、自分がローラン級数展開を理解できていないからだと思いますので、
その辺りの説明をよろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

f(z) = (-1/u)(cos u) の右辺の (-1/u) は、
cos をマクローリン展開したとき現れる Σ の
添字に関しては、定数ですから、
Σ の各項へ分配することができます。
分配してみると、変形後の Σ は、
u=0 を中心とする f(z) のローラン展開
になっています。それだけのこと。
ローラン展開の…というより、
Σ の基本性質の話題でしょう。

1/u は、それ自体が 1/u のローラン展開だから、
何もしなくても、ベキ展開はもう済んでいる
…と説明することもできますが、
眩学的過ぎる気がします。

お礼

ありがとうございます。

自分には

> 1/u は、それ自体が 1/u のローラン展開だから、
> 何もしなくても、ベキ展開はもう済んでいる

の説明の方が分かりやすいです。
ありがとうございました！

回答No.2

Tacosan

ごめん,
「自分は1/uの部分も

a[n] = Σ[n=0,∞] {(-1)^n}/(z-π)

とテーラー展開して、」
の部分が理解できない. a[n] って何?