フーリエ級数展開について

質問

フーリエ級数展開について

f(u)=1-(u^2/π^2) (-π≦u<π)

この時 an（cos成分のスペクトル）を求めたいのですが
f(u)にcos(nu)をかけて積分したら おかしな形になっちゃいます。
どうすればよろしいでしょうか？ご教授よろしくお願いします。

回答No.1

info222_

>おかしな形になっちゃいます。
単にあなたに積分の計算力が不足しているだけです。
高校の教科書や参考書に載っている(x^2)sin(mx)の積分公式（部分積分を２回すて導ける公式）を使えば積分できます。
f(u)はuの偶関数なので bn=0(n=1,2,3, ... )
f(u)=a0/2+Σ[n=0,∞] an cos(nu)
a0=(2/π)∫[0,π] (1-(u/π)^2) du
an=(2/π)∫[0,π] (1-(u/π)^2) cos(nu) du
=(2/π)∫[0,π] cos(nu)du-(2/π)∫[0,π] (u/π)^2 cos(nu) du
-(2/π){[(u/π)^2*sin(nu)/n+2u/(nπ)^2*cos(nu)-2/(nπ)^2*sin(nu)]
[0,π]}
=-(4/(nπ)^2)*(-1)^n (n=1,2,3, ...)
となります。
従ってウーリエ級数展開は
f(u)=(2/3)-Σ[n=0,∞] (4/(nπ)^2)*((-1)^n) cos(nu) (|u|≦π)
となります。