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式の級数展開
式の級数展開 時弘哲治「工学における特殊関数」p102において 2zeta / (zeta * zeta -1)のzeta=0まわりの展開は -2zeta - 2 (zetaの3乗) とありました。 自分で展開をしてみようと思い f(x) = sigma_{k=0}^{n} {f^k(a) * (x-a)^k}, x=0のテーラー展開をしたのですが、 得られたのは = -2 -2 + ... でした。 展開の式はテーラー展開でなく、ローラン展開をすることになるのでしょうか？ -2zeta - 2 (zetaの3乗) を得るための式変形のヒントをお願いいたします。
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左辺に z=0 がちゃんと代入できますから、 ローラン展開じゃなく、テイラー展開ですね。 部分分数に分解して、 2z/(z↑2 - 1) = 1/(1 + z) - 1/(1 - z). 等比級数の和より、 1/(1 - z) = 1 + z + z↑2 + z↑3 + …, 1/(1 + z) = 1 - z + z↑2 - z↑3 + …. 下の二式を上の式へ代入して整理すると、 2z/(z↑2 - 1) = - 2z - 2z↑3 - ….
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お礼
ありがとうございます。そのままでなく部分分数にしないといけなかったのでしたか。