指数関数の展開方法を教えて下さい

質問

指数関数を展開すると下記の式が成立するそうなのですが，
プロセスがわかりません。
1/{1+exp(-x)}=Σ{(-1)^n・exp(-nx)}
右辺の級数は，n=0～無限大です。
マクローリン展開かと思ったのですが，展開後にexpは出てこないですよね。
解答あるいは参考になりそうなサイトをご存知の方，教えて下さい！
なお，上式は拡散方程式をラプラス変換で解くプロセス中に出てくる式で，
参考図書を見ると特に説明もなく先に進んでいます。
よろしくお願いします！

回答No.1

kaku-houkou · ベストアンサー

おそらくこんな感じでいいのではないかと。

f(x)=Σ{(-1)^n・exp(-nx)} と置く。
すると

f(x)=1-exp(-x)+exp(-2x)-exp(-3x}+ … (1)

これの両辺にexp(-x)をかけると

exp(-x)・f(x)= exp(-x)-exp(-2x)+exp(-3x)-exp(-4x)+ … (2)

となる。
(1)+(2)を計算すると

(1+exp(-x))・f(x)=1 (なぜなら(1),(2)ともに…以下無限に続く) (3)

ここでx=0ではないとすると、(1+exp(-x))=0ではない
よって(3)の両辺を(1+exp(-x))で割ると

1/{1+exp(-x)}=f(x)

(1)を代入して

1/{1+exp(-x)}=Σ{(-1)^n・exp(-nx)} □

という感じですね。

お礼

あ！なるほど！その手がありましたね～！
ありがとうございます～♪バッチリです☆
ん？もしかしてkaku-houkouさんは，初回答ですか？
とっても助かりました。これからもよろしくお願いします。

回答No.2

mmky

参考程度まで

1/(1+ｚ) は（|ｚ|＜1）でテーラ展開できます。
1/(1+ｚ)=1-ｚ+ｚ＾2-ｚ＾3+・・・・+(-1)＾nｚ＾ｎ+・・
Z=exp(-x), x＞0　と置けば、（|ｚ|＜1）だから、
1/(1+ｚ)=Σ{(-1)^n・ｚ＾n} =Σ{(-1)^n・{exp(-x)}＾n}
=Σ{(-1)^n・exp(-nx)}
になります。

お礼

なるほど～。1/(1+ｚ) から展開するという手もありますね。
やっぱり，結構簡単に誘導できるんですね。
でも，ぼくにとってはコロンブスの卵です。
この方法は，他のケースにも応用できそうなのでとても参考になります。
ありがとうございました。