- ベストアンサー
なぜ-∫z/1dzになるのがわからない
数学得意な方に質問です。 ∫tan(x)dzを分母を丸ごとzで置き換えてしまう置換積分を使って∫cos(x)/sin(x)dxに 置き換えて、次に-∫z/1dzになるらしいのですが、なぜ∫cos(x)/sin(x)dxがいきなり -∫z/1dzになるのかがわかりません。 わかりやすく教えて頂ければ幸いです。
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- なぜ答えが∫3dz+∫11/z dzになるのか?
数学得意な方に質問です。 画像の(1)をz=x-2と置くとdz=dxになるからこれらを関数に代入すると(2)になり、さらに項に分けると(3)になるらしいのですが、なぜ(1)がいきなり(2)になって、さらに(3)になるのでしょうか? わかりやすく教えて頂ければ幸いです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz C:|z|=1 ついて
複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz C:|z|=1 ついて |z|=1 よりz=cosθ+isinθ とおきました。 すると、dz/dθ=-sinθ+icosθ、cos(z)/z^4 の分母は z^4=(cosθ+isinθ)^4 とうまくいくのですが、分子のcos(z)=cos(cosθ+isinθ)となり、上手く進みません。 ぜひ、アドバイスの程よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫1/(z-1)dz C:|z|=1 の求め方
次のように考えてみました。 z=1は不正則点であるので、z=cosθ+isinθ (0<θ<2π)とおき、 ∫1/(z-1)dz =∫[0→2π]1/(cosθ+isinθ-1)dz/dθdθ =∫[0→2π](-sinθ+icosθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ =∫[0→2π]i(cosθ+isinθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ =∫[0→2π]i(cosθ+isinθ){cosθ-(isinθ-1)}/(cosθ+isinθ-1){cosθ-(isinθ-1)}dθ =∫[0→2π]i{(cosθ)^2-isinθcosθ+cosθ+isinθcosθ+(sinθ)^2+isinθ}/{(cosθ)^2-(isinθ-1)^2}dθ =∫[0→2π](1+isinθ+cosθ)/2sinθdθ =1/2∫[0→2π]1/sinθdθ+i/2∫[0→2π]dθ+1/2∫[0→2π]cosθ/sinθdθ =1/2[log|tanθ/2|][0→2π]+i/2[θ][0→2π]+1/2[log|sinθ|][0→2π] =πi 以上のような考え方でよろしいのでしょうか?宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫xe^x^2 dxの解き方について
数学得意な方に質問です。(置換積分) ∫xe^x^2 dx についてですが、 (1)eの肩にあるx^2をzとして置き換えたらdxは何になりますか?の問題で途中式はなく、いきなりdx/dz=2xとなり、さらにdx=2x/dzとなっています。 (2)さらに∫xe^x^2 dxにzとdxを代入するといきなり∫xe^z 2x/dzとなり、さらに2/1∫e^zdzとなるらしいのですが、途中式はなく、なぜそうなるかわかりません。 詳しいかた、教えて頂ければ幸いです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 2/1∫e^zdzについて
数学得意な方に質問です。(置換積分) ∫xe^x^2 dxの積分を解いているのですが 途中式で∫xe^z 2x/dzがいきなり2/1∫e^zdzとなるらしいのですが、なぜ2/1∫e^zdzになるのかわかりません。 詳しいかた、教えて頂ければ幸いです。
- 締切済み
- 数学・算数
- tan(z)を=π/2を中心にローラン展開する上で
tan(z)を=π/2を中心にローラン展開する上で、 z=π/2+0.001として、 tan(z)をローラン展開して tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・ としたのですが、 どうやって tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・ から =-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・ と導いたのでしょうか? また、 a(2) (z-π/2)^2の値はどうやって導いたか教えて頂けないでしょうか。 どうか過程の式を教えて頂けないでしょうか。 また、 「tan(z)をローラン展開して tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・」を解答に書いて頂いた上で、 「訂正です0でない第2項はa(1)の項でした」と書かれていたのですが、意味がわかりませんでした。 どういう意味か教えて頂けないでしょうか? と言う質問において、 以下のような解答をいただいたのですが、 「tan z を z = π/2 中心にローラン展開するんですね? まず、z = π/2 の特異点を分類します。 tan z = (sin z)/(cos z), z = π/2 で sin z は正則、cos z は 1 位の零点を持ちますから、 z = π/2 は tan z の 1 位の極になります。 確認しましょうか。 lim[z→π/2] (z - π/2)^1 tan z = lim[z→π/2] (sin z)/{ cos z - cos(π/2))/(z - π/2) } = sin(π/2)/cos’(π/2) = sin(π/2)/{ -sin(π/2) } = -1. 確かに、有限値に収束しています。 よって、z = π/2 を中心とする tan z のローラン展開は、 適当な係数 c_k を置いて tan z = Σ[k=-1→∞] (c_k)(x - π/2)^k と書けます。 次に、この各 c_k を求めます。 No.1 の式を両辺を (z - π/2) 倍すると (z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(x - π/2)^j です。 ←[2] この式は、 (z - π/2) tan z の z = π/2 を中心とするテイラー展開になっていますね? g(z) = (z - π/2) tan z と置いて、g(z) をテイラー展開しましょう。 [2] の式を z で m 回微分すると (d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = Σ[j=m→∞] (c_(j-1))(jPm)(x - π/2)^(j-m) で、 z→π/2 の極限を取れば lim[z→π/2] (d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = c_(m-1) (m!) となります。 この式を使って、実際に c_k をいくつか求めてみましょう。 c_(-1) = lim[z→π/2] (d/dz)^0 { (z - π/2) tan z }/(0!) = lim[z→π/2] { (z - π/2) tan z }/1 = -1, c_0 = lim[z→π/2] (d/dz) { (z - π/2) tan z }/(1!) = lim[z→π/2] { 1tan z + (z - π/2)/(cos z)^2 }/1 = lim[z→π/2] { (sin z)(cos z) + (z - π/2) }/(cos z)^2 = lim[z→π/2] { (d/dz) { (sin z)(cos z) + (z - π/2) } }/{ (d/dz) (cos z)^2 } = lim[z→π/2] { cos(2z) + 1 }/{ - sin(2z) } = ( -1 + 1 )/(-1) = 0, c_1 = lim[z→π/2] (d/dz)^2 { (z - π/2) tan z }/(2!) = lim[z→π/2] (d/dz) { tan z + (z - π/2)/(cos z)^2 }/2 = lim[z→π/2] { 2/(cos z)^2 + (z - π/2)(2 sin z)/(cos z)^3 }/2 = lim[z→π/2] { (cos z) + (z - π/2)(sin z) }/(cos z)^3 = lim[z→π/2] { (d/dz) { (cos z) + (z - π/2)(sin z) } }/{ (d/dz) (cos z)^3 } = lim[z→π/2] { (z - π/2)(cos z) }/{ 3 (cos z)^2 (- sin z) } = lim[z→π/2] (-1/3)(1/sin z)/{ (cos z - 0)/(z - π/2) } = (-1/3)(1/1)/{ -1 } = 1/3. けっこう面倒くさいけれど、ロピタルの定理を多用すればイケますね。 この調子で、どんな k についても c_k の値は根性出せば求められます。 c_k の一般項を k の式で書き下すのは、おそらく無理っぽいけど。」 といただいたのですが、 どの部分が tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・ から =-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・ の式より、 a(2) (z-π/2)^2が(1/3)(z-π/2)と導いたことを説明しているのでしょうか? また、「c_k の一般項を k の式で書き下すのは、おそらく無理っぽいけど。」と書かれていますが、なぜc_k の一般項を k の式で書き下すのは、おそらく無理なのでしょうか? また、c_k の一般項を k の式で書き下すとはどう言う意味でしょうか? どうかわかりやすく教えて下さい。 どうかよろしくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 無限積分の問題
次の問題の解き方を教えてください。 【問題】 +∞ ∫{1/(1+x^2)}dx を求めよ -∞ 次のように解答を進めました -------------------------------------------------------------------- 【解答】 まず、∫{1/(1+x^2)}dxについて考える。 x=tanθとおくと、 dx/dθ=1/cos^2θ から、 dx=dθ/cos^2θである。 1+x^2=1+ tan^2θ=1+sin^2θ/cos^2θ = 1/cos^2θ よって、1/(1+x^2)=cos^2θ したがって、∫{1/(1+x^2)}dx は、∫cos^2θ*(dθ/cos^2θ)=θ+c=tan^-1x+C ------------------------------------------------------------------- このようになりました。 しかし、この後、どう無限積分につなげていき、解くべきかわかりません。 cos^2θを、無限積分で解くという形になるのでしょうか。 しかし、例えそうだったとしても、解答がどうなるのかわかりません。 コサインの無限積分は収束して確かに存在する・・・・・・ジャイロ・ツェペリの黄金回転でしょうか? どなたか、何卒お力添えください。 ニョホホホ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ある積分計算の違和感について質問です。
ある積分計算の違和感について質問です。 【問題】 関数sin(x)cos(x)を区間[-π,π]で定積分した値を求めよ。 Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx 以上の計算について、次の置換積分による計算は数学的に正しいでしょうか? 積分区間が0になってしまうところに違和感がありますが、 正しく導けている??? 数学的に何が起きているのでしょうか? 【解答】 t=sin(x)とおく。 このとき、dt = cos(x)より sin(x)cos(x)dx = t dt また,x : -π → π のとき t : 0 → 0 したがって、 Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx =Int_[0,0]{t}dt =0 sin(x)cos(x)が奇関数であることや、2倍各の公式sin(x)cos(x)=sin(2x)/2を利用した方法でも答えは0であることはあってるのですが…。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- トナーカートリッジとドラムユニットを新品に交換し、節約モードをオフにしても印刷した文字が薄かったり、かすれたりします。
- Windows11で有線LANに接続されている環境で、印刷結果が薄い・かすれる問題が発生しています。
- ブラザー製品のMFC-L2740DWを使用している際に、印刷した文字が薄くかすれる問題が生じています。