ベクトル、外接円、垂心

質問

鋭角三角形ＡＢＣの外接円の中心をＯ、辺ＢＣの中点をＭ、頂点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足をＤ、
頂点Ｂから辺ＡＣに下ろした垂線の足をＥとし、直線ＡＤ、ＢＥの交点をＨとし、
(→)ＯＡ=(→)a、(→)ＯＢ=(→)b、(→)ＯＣ=(→)cとする。
（ベクトルＡＢを(→)ＡＢと表記することにします）

(1) (→)OHを(→)a、(→)b、(→)cをを用いて表せ
(2) 円Ｏの周上の点Ｐに対し、Ｑは
　　(→)OQ＝1/2{(→)OA+(→)OB+(→)OC}-1/2(→)OPをみたすとき

　(i)点Ｐが外心Ｏに関するＡの対称点Ａ'のとき、Ｑが線分ＡＨの中点であることを示せ

　(ii)点Ｐが円Ｏの円周上を動くとき、点Ｑの軌跡を求めよ

始めから詰まってしまいました。
(→)AD=s(→)AB+(1-s)(→)ACとおくと
(→)AD=s{(→)b-(→)a}+(1-s){(→)c-(→)a}
=-(→)a+s(→)b+(1-s)(→)c
また(→)AD//(→)OMより
(→)AD=(1/2)t{(→)b+(→)c}で係数比較と思ったのですが
あれ？・・・(→)aは・・・(；´Д`)

出来れば(2)のほうもよろしくお願いします

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

(1)の正解は、
(→)OH＝(→)a＋(→)b＋(→)c
ですが、これをベクトルだけの計算で求めるのは難しいかもしれません。
数値計算で求めるなら、
AH=2OM
を示すことができれば、（これも難しいかもしれませんが）
(→)OH＝(→)OA＋(→)AH＝(→)OA＋2(→)OM＝(→)a＋(→)b＋(→)c
となります。

(2)
(→)OQ＝1/2{(→)OA+(→)OB+(→)OC}-1/2(→)OP＝1/2{(→)OH-(→)OP}
なので、

(i)
(→)OQ＝1/2{(→)OH-(→)OA'}＝1/2{(→)OH+(→)OA}
これは、AHの中点を示しています。

(ii)
(→)OQ＝1/2(→)OH-1/2(→)OP
これは、中心が線分OHの中点で、半径が円Ｏの半分の円を描きます。

お礼

回答本当にありがとうございます
(1)さえ示せれば(2)(3)はそれほど難しくは無いですね
もう少し(1)を頑張ってみます