数学Iの問題

質問

『AB=5、BC=6、CA=7である三角形ABCにおいて、頂点Bから辺ACに垂線BHを引くとき、AHの長さを求めよ』の解き方が分かりません。途中の式も含めて教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.2

ticket_012 · ベストアンサー

１．余弦定理を用いた解法
まず、余弦定理より、cos∠Ａ＝(5^2＋7^2－6^2)/(2×5×7)＝19/35
ＡＨ＝xとすると、cos∠Ａ＝ＡＨ/ＡＢ＝x/5ですので、
x/5＝19/35　これを解いてx＝19/7です。

２．三平方の定理を用いた解法
ＡＨ＝xとすると、ＣＨ＝7－xと表されます。
ここで三平方の定理より、ＡＢ^2－ＡＨ^2＝ＢＣ^2－ＣＨ^2ですから、
5^2－x^2＝6^2－(7－x)^2
これを解いて、x＝19/7です。

お礼

三平方の定理による解法もあったとは、気づきませんでした。
余弦定理と三平方の定理、それぞれ詳しく書いて下さり、とてもよく分かりました。本当にありがとうございます。

回答No.6

tattutattu

先ほどのNo.4の者ですが、No.2の方が同じ解法を説明されていたようですね。
不注意であったことをお詫び申しあげます。
あと、(1),(2)式は両方とも円の方程式だったことに今更気づきました。
本問には何も関係なさそうですけどね・・・。

お礼

ご助言下さってるのに、お詫びだなんて、そんな・・・。^^;）
ご協力下さり、感謝致します。

回答No.5

tattutattu

△ABHと△BCHに分けて考える。
それぞれ、∠AHB＝∠BHC＝90゜より、三平方の定理が使えるので、

BH＝ｘcm、AH＝ｙcmとおくと、

BH^2 + AH^2 = AB^2　　・・・(1)
BH^2 + CH^2 = BC^2　　・・・(2)

となる。
(1)について、
x^2 + y^2 = 5^2
(2)について、
x^2 + (7-y)^2 = 6^2

これを連立して解くと、x^2 + y^2　の部分が被るので、それ以外の項を右辺に持っていくと

(1)→x^2 + y^2 = 25
(2)→x^2 + y^2 = 36 -(49-14y)

なので、
25 = 36 - (49-14y)
y = 19/7

※以下、書いてしまったので、垂線の出し方も述べておきます。
これを、（1）式に代入して、

x^2 = 5^2-(19/7)^2
x = sqrt[(5+19/7)(5-19/7)]
= sqrt[(54/7) * (16/7)]
= 12√6 / 7 ( = BH)

よって、AH = 19/7 , BH = 12√6 / 7　となる。

三平方の定理と連立方程式を使って解くとこうなります。
どうでしょうか？？

お礼

連立方程式も使う解法があったんですね。全く気づきませんでした。
丁寧に解説下さり、本当にありがとうございます。

回答No.4

shuu_01

というか、No.2 さんの余弦定理が１番 簡単ですね

答え聞いちゃうとすごい簡単

回答No.3

shuu_01

No.2 さんの回答を見て、自分が問題文を良く読んでなかったことがわかりました

B から AC に垂線を下ろしたのですね！

ヘロンの公式を用いて、

△ABC の面積＝√｛9（9 - 5）（9 - 6）（9 - 7）｝ ＝ 6√6

を導いたまでは正しいです

これが、底が AC、高さ BH の三角形の面積と等しいので

（1/2）・7・BH ＝ 6√6

BH ＝ （12/7）・√6

△ABH に三平方の定理を当てはめ

5^2 ＝ ｛ （12/7）・√6｝^2 ＋ AH^2

AH^2 ＝ 25 － 864/49 ＝ 361/49

AH ＝ 19/7

* この問題で難しいのは 361 の平方根が 19 であることに
　気付くことでしょう
　No.2 さんの回答を見てからでないと、
　気付かなかった気がする

お礼

回答No1でご回答下さった方かな？
引き続きご解説、また図も載せて下さり、重ねてありがとうございます。とてもよく分かりましたが、√361=19である事に気づく事・・・、勉強になります。

回答No.1

shuu_01

三角形の面積はヘロンの公式を用いて

T ＝ √（9（9-5）（9-6）（9-7））＝6√6

これが 1/2・6・AH と等しいので

1/2・6・AH ＝ 6√6

AH ＝ 2√6

お礼

早々にご回答下さり、ありがとうございます。
他の方の書き込みもあわせ、参考にさせて頂きます。