三角形の外接円とその中心(外心？)

質問

『ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝３、ＡＢ＝２、ＢＣ＝３、ＣＡ＝√7である三角錐ＰＡＢＣがある。頂点Ｐから底面ＡＢＣへ下ろした垂線の交点をＨとする。次の値を求めよ』という問題があり、（１）ＡＨの長さを求めよ、という設問がありました。解説ではＨは三角形ＡＢＣの外接円の中心である、といきなり書かれており、正弦定理からＡＨを求めているのですが、そもそもどのような条件からＨが外接円の中心だと言えるのでしょうか？宜しくお願いします。

回答No.3

noname#47894 · ベストアンサー

中学でやる幾何風に証明します。

三角形PHA、PHB、PHCにおいて、
PH＝PH＝PH（共通）
PA＝PB＝PC（仮定より）
∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°（仮定より）

よって、三角形PHA、PHB、PHCは全て直角三角形であり、斜辺と他の一辺が等しいので、合同である。
ゆえに、HA＝HB＝HC

よって、Hは三角形ABCの外心である。

お礼

回答ありがとうございます。
直角三角形の合同条件ですか、なるほど！
通常？の三角形の合同条件のどれもあてはまらないなと悩んでいました。参考になりました。ありがとうございます。

回答No.2

0lmn0lmn0

点Ｐを中心とした”球面”、
３点Ａ、Ｂ、Ｃ、を含む”平面”、
”球面”と”平面”の交線は”円”です。

点Ｐから”平面”に垂線を下ろすと、
垂線の足Ｈは、この”円”の中心になります。

３点Ａ、Ｂ、Ｃは円上にあります。
Ｈは三角形ＡＢＣの外接円の中心（外心）となります。

この考え方は”時々”顔を出します。

お礼

回答ありがとうございます。
そのような考え方もあるんですね。参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

debut

三角錐を真上からみた図を考えてください。

例えば、三角錐の側面△ＡＢＰはＰＡ＝ＰＢの二等辺三角形
なので、真上から見た図での△ＡＢＰもやはり二等辺三角形です。
他の側面も同じで、真上から見た図の△ＡＢＰ，△ＢＣＰ，
△ＣＡＰはどれも二等辺三角形になります。
これらは辺をそれぞれ共有しているから、ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ
となります。
よって、真上から見た図のＰは△ＡＢＣの外心です。

点ＨはＰからＡＢＣに下ろした垂線の足なので、真上から
みた図のＰの位置と一致します。
したがって、Ｈは△ＡＢＣの外心であるといえます。

お礼

回答ありがとうございます。
真上から見るんですね。確かにおっしゃるとおりです。参考になりました。ありがとうございます。