外接円と三角形

質問

下の問題の解答方法が全く分からず困っています。

⇒さんかくっけいABCおｎ外接円において弧BC上に点PおとりAPとBCの交点をDとしたとき、PA・PD＝PB・PCであることを証明せよ。

海外在住のため質問できる日本人の方が周りにいないため困っています。このような問題に対してどのように考えればよいのか教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

回答No.2

debut · ベストアンサー

No1です。
正三角形なら、No1で書いた証明でいいです。

詳しくやれば、

仮定より、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣ Ｂ・・(1)
弧ＡＣ の円周角だから、∠ＡＢＣ＝∠ＡＰＣ・・(2)
弧ＡＢの円周角だから、∠ＡＣ Ｂ＝∠ＡＰＢ(＝∠ＢＰＤ)・・(3)
(1)～(3)より、∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＤ・・(4)
弧ＰＣ の円周角だから、∠ＰＡＣ＝∠ＰＢＣ (＝∠ＰＢＤ)・・(5)
(4),(5)より、２組の角がそれぞれ等しいので、△ＡＰＣ∽△ＢＰＤ
よって、ＰＡ：ＰＣ＝ＰＢ：ＰＤ、つまり
ＰＡ・ＰＤ＝ＰＢ・ＰＣ　が成り立つ。

となります。

回答No.1

debut

ＡＢ＝ＡＣ の二等辺三角形、とかの条件はないのですか？
それがあれば、
∠ＡＢＣ＝∠ＡＣ Ｂ
∠ＡＢＣ＝∠ＡＰＣ
∠ＡＣ Ｂ＝∠ＡＰＢ　から、∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＤ・・(1)
∠ＰＡＣ＝∠ＰＢＤ（弧ＰＣ の円周角）・・(2)
(1),(2)から２組の角で、△ＡＰＣ ∽△ＢＰＤ
よって、辺の比　ＰＡ：ＰＣ＝ＰＢ：ＰＤから
ＰＡ・ＰＤ＝ＰＢ・ＰＣ　とかできますが・・

お礼

正三角形と書かれていました。
ありがとうございます、三角形のところにだけ集中してしまっていました。