△ABCの∠Aの2等分線と辺BCとの交点をD、△ABCの外接円との交点

質問

△ABCの∠Aの2等分線と辺BCとの交点をD、△ABCの外接円との交点をEとするとき、

AB・AC = AD・AE = AE^2-BE^2

を証明せよ。

・・・

という問題の解き方がわからず、困っています(>_<)
"方べきの定理"と関係のある問題だと、大学の講師は述べていたいのですが。。。よろしくお願いします。

回答No.3

dora63

ちょうど同じ問題を解いていました。
私の場合は　AB・AC=AD^2+BD・DC　でしたけど。

△ABEと△ADCにおいて
　∠AEB=∠ACD, ∠BAE=∠DAC
よって
　　　△ABE∽△ADC
　ゆえに
　　　AB：AE=AD：AC
　したがって
　　　AB・AC=AD・AE　ー(1)　（方べきの定理）

また
　　∠EBD=∠EAC=∠BAD
よって接弦定理より△BADの外接円と点Bで接線BEと接している
ゆえに
　　BE＾２＝DE・AE　ー(2)
また
　　AD=AE-DE
したがって(1)式は
　　AB・AC=AD・AE=(AE-DE)・AE
　　　　　＝AE＾２-DE・AE
上式と(2)式より
　　AB・AC=AE^2-BE^2
　以上証明終わり

回答No.2

de_tteiu

△AEC∽△ABDより
AB:AE＝AD:AC
です

ここから、初めの等式は導けますね

そういえば、方べきの定理は使っていませんね(笑

お礼

再度のご回答ありがとうございます！
そうですよね、「△AEC∽△ABD→AB:AE＝AD:AC」は、理解できました(^_^;)
でもすいません、最後の「・・・= AE^2-BE^2」の部分が、どうしても導けないのです(>_<)

△ABE∽△BDEはまだ使っていないので、これを使えばいいのだと思ったのですが、

AE:BE=BE:DE
→BE^2=AE・DE

AB:BE=BD:DE
→AB・DE=BE・BD

が出てきただけで、「AB・AC = AD・AE = AE^2-BE^2」まで到達することができません・・・申し訳ないのですが、再度ヒントをいただけないでしょうか？

回答No.1

de_tteiu

△ACE∽△ABD、△ABE∽△BDE
に気付けば解けるかと

お礼

de_tteiuさんのおかげで、

△ACE∽△ABD
△ABE∽△BDE

は、導くことはできました！
円周角の定理と二等分線の性質→∠BAE=∠CAE
円周角の定理→∠BAE=∠BCE,∠CAE=∠CBE,∠ABC=∠AEC
で導ける感じですね～ありがとうございます(^_^;)

でもここから、

AB・AC = AD・AE = AE^2-BE^2

を導くためにどう展開すればいいのやら・・・あと、仮定より導ける情報は、

AEは∠Aの2等分線なので、

AB:AC=BD:CD

と、方べきの定理より、

DA・DE = DB・DC

ぐらいだと思うのですが・・・揃った条件から、導くことができません(>_<)

すいませんが、もしよろしければ、再度ヒントをいただけないでしょうか？
よろしくお願いします<m(__)m>