長さの求めかた

質問

AB=6、AC=3、∠A=120度の△ABCにおいて、∠Aの２等分線と辺BCとの交点をDとし、△ABCの外接円と直線ADのA以外の交点をEとするとき、DEの長さを求める方法を教えてください

△ABCを余弦定理で求めると
(BC＾2)=(6＾2)＋(3＾2)-2*3*6*(cos120度）
=63
BC=3√7
ADが∠CABの二等分線であるから
∠CBE=∠CAE=60度
∠BCE=∠BAE=60度
△BCEは三角形
BC=CE=3√7

までは理解が出来たのですが
△DBAと△DCEがなぜ相似になるのか分かりません。
御願いします。

それから、相似を使わない解き方も教えてください。

回答No.3

debut · ベストアンサー

＞３＾２＋ＡＤ＾２－２×３×ＡＤ×Ｃｏｓ（６０°）＝（√７）＾２
　　で、ＡＤ＝ｘとすると、cos60°＝1/2だから
　　９＋ｘ^2－３ｘ＝７　から　ｘ^2－３ｘ＋２＝０　と２次方程式が
　　できて、(ｘ－１)(ｘ－２)＝０　より　ｘ＝１，２・・（１）
　同様に、△ＡＢＤで余弦定理より
　　６^2＋ＡＤ^2－２×６×ＡＤ×cos60°＝(２√７)^2　で、
　　ＡＤ＝ｘ　として　ｘ^2－６ｘ＋８＝０を解いて、ｘ＝２，４・・（２）
　（１）、（２）からｘ＝２＝ＡＤ

＞∠BAE=∠BCE
＞と、もう一つの共通の角はどこか教えてください。
　　これは、対頂角だから　∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＥ
　　もしくは、円周角だから　∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＣ　です。

　よって、△ＤＢＡと△ＤＥＣが相似になる
　対応する辺はＡＢとＣＥ、ＢＤとＥＤ、ＤＡとＤＣなので、
　ＢＤ：ＤＡ＝ＥＤ：ＤＣ　となって、あとは数値を入れてＤＥを計算です。

回答No.4

kittenandcat

面積で解くのはどうでしょうか？
△ABCを余弦定理で求めると
(BC＾2)=(6＾2)＋(3＾2)-2*3*6*(cos120度）
=63
BC=3√7
ADが∠CABの二等分線であるから
∠CBE=∠CAE=60度
∠BCE=∠BAE=60度
△BCEは正三角形
BC=CE=3√7
までわかっているなら、
まず、AD＝xとおいて、△ABCの面積＝△ABDの面積+△ADCの面積から、
ADの長さを求める。→AD＝２
AE＝ｙとおいて、四角形ABECの面積＝△ABEの面積+△ACEの面積　また、四角形ABECの面積＝△ABCの面積+△BCEの面積より、
△ABEの面積+△ACEの面積＝△ABCの面積+△BCEの面積が成り立ち、AEの長さが求められる。→AE＝９
従って、DE＝AE－AD＝７

お礼

長い間どうもありがとうございました。
この問題は理解することが出来ました。
どうもありがとうございます。

回答No.2

debut

この前の回答ではだめでしたか？

覚えておいて損はない図形の性質だと思うんですが・・・
　△ＡＢＣがあり、∠Ａの二等分線とＢＣとの交点をＤとするとき、
　辺の長さには、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ　が成り立つ

これが使えれば、点Ｄについては
　ＡＢ：ＡＣ＝６：３＝２：１なのでＢＤ：ＤＣも２：１になります。
ＢＣ＝３√７なので、ＢＤ＝２√７、ＤＣ＝√７

このＤＣと、∠ＢＣＥ＝６０°、ＣＥ＝３√７　から、　△ＣＤＥで余弦
定理を使えば　ＤＥは求まると思うのですが・・

補足

前回は補足の回答をずっと待っていたのですがなにも返信がなくて新たに質問しました。
三角形ＡＣＤにおける余弦定理の場合
３＾２＋ＡＤ＾２－２×３×ＡＤ×Ｃｏｓ（６０°）＝（√７）＾２
までは分かったのですが
ＡＤ＝１or２をどうして代入するのか分かりません。
△DBAと△DCEがなぜ相似？
についてなのですが、
円周角より
∠BAE=∠BCE
と、もう一つの共通の角はどこか教えてください。

回答No.1

redowl

＞△BCEは三角形
△BCEは　正三角形

＞△DBAと△DCEがなぜ相似
２角相等を証明すればいい。対頂角と円周角を見つけるだけ・・・