△ABCの辺BC,CA上にD,Eを

質問

△ABCの辺BC,CA上にD,Eを
BD:DC=(P-1):1,CE:EA=P:1
となるようにとる。(P>1)
ADとBEの交点をFとし、
AB↑=a↑,AC↑=b↑とするとき、
(1)AD↑,BE↑をa↑,b↑で表せ。
(2)AF:FD,BF:FEの値を求めよ

という問題なんですが、
AD↑=a↑+(P-1)b↑/Pしか出せませんでした。
明日までに出来ないといけないので、
どなたかもしわかる方が
いらっしゃったら教えて下さい。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞(1)AD↑,BE↑をa↑,b↑で表せ。

＞AD↑=a↑+(P-1)b↑/Pしか出せませんでした。

　これは、AD↑={a↑+(P-1)b↑}/P　ということでしょうか。
　この式を　後で係数同士が比較しやすいように、次の形に変形しておきます。

　　AD↑＝(1/P)a↑ + (P-1)/P b↑　　　　・・・・・（Ａ）

　次に、BE↑　を表します。

　　BE↑＝BA↑ + 1/(P+1) AC↑ ＝　-a↑ + 1/(P+1) b↑　　　・・・・・（Ｂ）

＞(2)AF:FD,BF:FEの値を求めよ

　AF↑とBF↑をa↑,b↑で表せれば、求められます。
　ただし、ｓ、ｔを使って、次のように次のように表しておきます。

　　AF↑＝sAD↑、　BF↑＝tBE↑　（０＜ｓ、ｔ＜１）　　・・・・☆

　　AF↑＝AB↑＋BF↑　＝AB↑+ｔBE↑
　　　　＝a↑+ｔ{-a↑ + 1/(P+1) b↑}　＝(1-ｔ)a↑＋ｔ/(P+1) b↑　　・・・・・（Ｃ）

　他方、ＡＦ↑は　式（Ａ）と　AF↑＝sAD↑　を使って、次のようにも書けます。

　　AF↑＝sAD↑＝(ｓ/P)a↑ + ｓ(P-1)/P b↑　　　　・・・・・・（Ｄ）

　２つの式（Ｃ）、（Ｄ）は同じベクトルＡＦ↑を表しているので、右辺は同じでなければならないので、a↑,b↑　の係数は一致しなければなりません。

　　1-ｔ＝ｓ/P、　ｔ/(P+1)＝ｓ(P-1)/P

　このｓとｔについての連立方程式を解くと、次のようになります。

　　ｓ＝1/P、　ｔ＝(P^2-1)/P^2　　　・・・・・・・（Ｅ）

　これを使って、AF↑とBF↑は次のように表せます。（式☆を利用）

　　AF↑＝(1/P) AD↑、　　BF↑＝(P^2-1)/P^2 BE↑

　ここから、線分について次の関係が分かります。

　　AF：AD＝(1/P)：1＝1：P
　∴AF：FD＝P：(P-1)

　　BF：BE＝(P^2-1)/P^2：1＝(P^2-1)：P^2
　∴BF：FE＝(P^2-1)：１

お礼

わかりやすいご回答ありがとうございます！

おかげさまで何とかなりそうです。