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円に内接する三角形ABCについて、頂点AからBCにおろした垂線とBCの交点をHとする。AB=AC=3√10、BC=6であるとき 円の半径を求めよ です。わたしは三角形ABCは二等辺三角形なので、垂線の足のHは円の中心をとおり、円の中心はAHを2:1に内分すると考え、中心とBを結び、三角形BCHにおいて三平方の定理を使い、3√2とだしたのですが、あっているでしょうか?

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  • 回答No.2
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

わたしは三角形ABCは二等辺三角形なので、 垂線の足のHは円の中心をとおり、円の中心はAHを2:1に内分すると考え、 中心とBを結び、三角形BCHにおいて三平方の定理を使い、3√2とだしたのですが、あっているでしょうか? >「・・・・円の中心をとおり、」までは正しいですが、 「円の中心はAHを2:1に内分すると考え」は間違っています。 半径をr、円の中心をOとすると、△OBHで三平方の定理により OB^2=BH^2+OH^2→r^2=3^2+OH^2=9+OH^2・・・・・(1) △ABHで三平方の定理により AB^2=BH^2+AH^2=BH^2+(AO+OH)^2→(3√10)^2=3^2+(r+OH)^2・・・・・(2) (1)(2)を連立で解いて半径rを求めると、 (2)より90=9+r^2+2r*OH+OH^2 (1)を代入して90=9+9+OH^2+2OH√(9+OH^2)+OH^2 =18+2OH√(9+OH^2)+2OH^2→OH√(9+OH^2)=36-OH^2 両辺を二乗して OH^2(9+OH^2)=36^2-72OH^2+OH^4、ここでOH^2=xとおいて整理すると 81x=36^2→x=16→OH^2=16→OH=±4、OH>0だからOH=4 (1)に代入してr^2=9+16=25、r=±5、r>0だからr=5・・・答

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。間違いのご指摘と丁寧なご回答感謝いたします。

  • 回答No.1
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

>円の中心はAHを2:1に内分する その根拠は何でしょうか? 私だったら (1)△AHCについて三平方を使ってAHの長さを出す (2)円の中心をOとして、OAの長さ(つまりOCの長さでもあり、 円の半径でもある)をxとしたときに△OHCについて三平方を 使って OH^2+CH^2=OC^2 (AH-x)^2+3^2=x^2 としてxを出します。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。AHからAOをひいて三角形OHCで三平方を使うのが浮かびませんでした。よくわかりました。感謝致します

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