円に内接する二等辺三角形

質問

円に内接する二等辺三角形において、頂点から底辺に垂線を下ろすと、この垂線が円の中心Oを通り、また底辺を二等分するのはなぜですか？

回答No.1

noname#222520 · ベストアンサー

円に内接する二等辺三角形を△ABC、AB=ACとし、頂点Aから底辺BCに下した垂線の足をHとすると、
直角三角形ABHと直角三角形ACHにおいて、
等しい弦に対する円周角の大きさは等しいので、∠ABH=∠ACH
∠AHB=∠AHC=90°であるから、∠BAH=∠CAH
AHは共通
よって、直角三角形ABHと直角三角形ACHは、2辺とその間の角がそれぞれ等しく（1辺とその両端の角がそれぞれ等しく）合同
対応する辺の長さはそれぞれ等しく、BH=CH（底辺を二等分）

円の中心Oから底辺BCに下した垂線の足をH´とすると、
直角三角形OBH´と直角三角形OCH´において、
OB=OC（半径）
OH´は共通
三平方の定理から、
BH´^2=OB^2-OH´^2
CH´^2=OC^2-OH´^2
これから、BH´=CH´
以上から、HとH´は一致するので、この垂線は円の中心Oを通る

お礼

とても解りやすいご回答、どうも有難うございました。