正四面体の内接球

質問

正四面体の内接球の中心は、外接球の中心でもある。
これが証明できません。どなたかベクトルとか使わない証明をご存知の方、教えてください。

逆の命題、「正四面体の外接球の中心は内接球の中心でもある」は以下のように示すことができると思います。
正四面体をABCD
外接球の中心をＯ
Ｏから面ABCに下ろした垂線の「足」をW
Ｏから面ABDに下ろした垂線の足をX
Ｏから面ACDに下ろした垂線の足をY
Ｏから面BCDに下ろした垂線の足をZ
外接球の半径をRとする。
（補題）外接球の中心から各面に下ろした垂線とその面との交点は面の重心である。

外接球であるから、OA=OB=OC=OD=R
面ABCを考える
△OWAと△OWBと△OWCで
OA=OB=OC　（=R 外接球の半径）
OW=OW=OW （共通）
∠OWA = ∠OWB = ∠OWC = 90°（垂線だから）
斜辺ともう一つの辺が等しいので
△OWA≡△OWB≡△OWC
∴AW=BW=CW
Wは正三角形ABCの外心である。
正三角形において、外心と内心と重心は一致するから、Wは重心でもある。
他の3つの面も同様に考えられるから、X,Y,Zはそれぞれ重心となる。
（本題）
△OWAと△OYAを考えて、
AW=AY （合同な正三角形の重心と頂点との距離）
AO=AO （共通）
∠OWA = ∠OYA = 90°（垂線だから）
∴△OWA≡△OYA
∴OW=OY
同様に、OW=OX=OY=OZ
ゆえに、Oは内接球の中心である。
このとき、Oと各面との接点はW,X,Y,Zである。

逆は難しくてどうしてもわかりません。内接円の類推で、内接球の中心が二等分「面」上にあることを使うのだと思うのですが。

よろしくお願いします。

回答No.1

chiezo2005 · ベストアンサー

球と正四面体の対称性から二つの球の中心が一致するのは明らかというのはだめですか？

つまり，
外接球は４つの頂点を通る球で一意的に定まる。
内接球は4つの各面の中央に接する球で一意的にに定まる。

二つの球の中心を結ぶ線分を考える。
この線分の対称性と正四面体の対称性が一致する必要がある。

線分の対称性とは線に平行な回転軸への回転対称性と
線分の中点に対する反転対称性。

一方，正四面体の対称性は正四面体の中央と頂点を結ぶ3回対称性。
正四面体の一つの頂点の周りの3回対称性に線分の軸をあわせると，
これ以外の頂点に対する3回対象性を満たすためには
線分の長さが有限であっては不可能なので，線分の長さは０。
つまり一致する。

お礼

chiezo2005さん、ありがとうございます。大変参考になります。
確かに、面対称、点対称ですから考えれば考えるほど「真ん中」にあるしかなく、どっかへずれれば距離が異なってしまって内接しないと思います。
ですが、私としては、ちょっと。。。数学は定義と証明を積み重ねていくものだと思うのですが、対称性の定義ってこれまた難しいですね。もう少し自分でも考えてみます。