- ベストアンサー
正４面体の外接円について
ある正４面体ABCDの外接球をかんがえます。「外接球の中心をOとすると、Aから底面BCDにおろした垂線の足をHとしたとき、 AB＝AC＝AD かつ OB=OC=OD であることから対称性よりA,O,Hは同一直線上にある」 と書いてあるんですが、よくわかりません。 感覚的に一直線上にんる事はわかるんですが、ちゃんとした証明がほしいです。 よろしくおねがいします。
- doragonnbo-ru
- お礼率21% (111/516)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
PB=PC=PD を満たす点Pの軌跡を考えてみましょう。 まず、PB=PCを満たす点Pの集合を考えましょう。 これは線分BCの中点をとおり線分BCに垂直な面になります。 同様にPC=PDを満たす点Pの集合は線分CDの中点をとおり線分CDに垂直な面になります。 PB=PC=PDを満たす点Pは上記の二つの面の共通部分、つまり二つの面の交線になります。 このA,OはPの条件を満たす点である以上この線に含まれます。 次に、この交線と面BCDの関係を考えてみましょう。 線分BCの中点をとおり線分BCに垂直な面 は 面BCDに垂直です。 線分CDの中点をとおり線分CDに垂直な面 は 面BCDに垂直です。 この二つの面の交線は面BCDに垂直になります。 つまり、この線はA(O)から面BCDに降ろした垂線になるのです。よって、Hはこの線と面BCDの交点となります。
関連するQ&A
- ベクトル、外接円、垂心
鋭角三角形ＡＢＣの外接円の中心をＯ、辺ＢＣの中点をＭ、頂点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足をＤ、 頂点Ｂから辺ＡＣに下ろした垂線の足をＥとし、直線ＡＤ、ＢＥの交点をＨとし、 (→)ＯＡ=(→)a、(→)ＯＢ=(→)b、(→)ＯＣ=(→)cとする。 （ベクトルＡＢを(→)ＡＢと表記することにします） (1) (→)OHを(→)a、(→)b、(→)cをを用いて表せ (2) 円Ｏの周上の点Ｐに対し、Ｑは (→)OQ＝1/2{(→)OA+(→)OB+(→)OC}-1/2(→)OPをみたすとき (i)点Ｐが外心Ｏに関するＡの対称点Ａ'のとき、Ｑが線分ＡＨの中点であることを示せ (ii)点Ｐが円Ｏの円周上を動くとき、点Ｑの軌跡を求めよ 始めから詰まってしまいました。 (→)AD=s(→)AB+(1-s)(→)ACとおくと (→)AD=s{(→)b-(→)a}+(1-s){(→)c-(→)a} =-(→)a+s(→)b+(1-s)(→)c また(→)AD//(→)OMより (→)AD=(1/2)t{(→)b+(→)c}で係数比較と思ったのですが あれ？・・・(→)aは・・・(；´Д`) 出来れば(2)のほうもよろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正四面体の内接球
正四面体の内接球の中心は、外接球の中心でもある。 これが証明できません。どなたかベクトルとか使わない証明をご存知の方、教えてください。 逆の命題、「正四面体の外接球の中心は内接球の中心でもある」は以下のように示すことができると思います。 正四面体をABCD 外接球の中心をＯ Ｏから面ABCに下ろした垂線の「足」をW Ｏから面ABDに下ろした垂線の足をX Ｏから面ACDに下ろした垂線の足をY Ｏから面BCDに下ろした垂線の足をZ 外接球の半径をRとする。 （補題）外接球の中心から各面に下ろした垂線とその面との交点は面の重心である。 外接球であるから、OA=OB=OC=OD=R 面ABCを考える △OWAと△OWBと△OWCで OA=OB=OC （=R 外接球の半径） OW=OW=OW （共通） ∠OWA = ∠OWB = ∠OWC = 90°（垂線だから） 斜辺ともう一つの辺が等しいので △OWA≡△OWB≡△OWC ∴AW=BW=CW Wは正三角形ABCの外心である。 正三角形において、外心と内心と重心は一致するから、Wは重心でもある。 他の3つの面も同様に考えられるから、X,Y,Zはそれぞれ重心となる。 （本題） △OWAと△OYAを考えて、 AW=AY （合同な正三角形の重心と頂点との距離） AO=AO （共通） ∠OWA = ∠OYA = 90°（垂線だから） ∴△OWA≡△OYA ∴OW=OY 同様に、OW=OX=OY=OZ ゆえに、Oは内接球の中心である。 このとき、Oと各面との接点はW,X,Y,Zである。 逆は難しくてどうしてもわかりません。内接円の類推で、内接球の中心が二等分「面」上にあることを使うのだと思うのですが。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一辺の長さが１の正三角形ABCを底面とする四面体 OABCを考える。た
一辺の長さが１の正三角形ABCを底面とする四面体 OABCを考える。ただし、OA=OB=OC=aであり、a≧1とする。頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線をHとする。AHの長さが√3/3になる理由が分かるかた解説おねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角形の外接円とその中心(外心？)
『ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝３、ＡＢ＝２、ＢＣ＝３、ＣＡ＝√7である三角錐ＰＡＢＣがある。頂点Ｐから底面ＡＢＣへ下ろした垂線の交点をＨとする。次の値を求めよ』という問題があり、（１）ＡＨの長さを求めよ、という設問がありました。解説ではＨは三角形ＡＢＣの外接円の中心である、といきなり書かれており、正弦定理からＡＨを求めているのですが、そもそもどのような条件からＨが外接円の中心だと言えるのでしょうか？宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 外接円の四角形に関する
数学の問題にて下記が分からないので質問します。 四角形ABCDは円Oに内接し2AB=BC、CD=２、DA=1、cos<(角)ABC=8分の5を満たしている。 この時のACの長さ、円Oの半径、 ABの長さ、BDの長さ、cos<(角)BCDを求めよ。 以上、分からないので解説と解答お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 空間ベクトルの問題です！！＞＿＜
四角すいＯ－ＡＢＣＤにおいて、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝ｂで、底面ＡＢＣＤが１辺の長さaの正方形のとき、。側面と底面のなす角ΘのcosΘを求めよ。 ⇔この問題わかりませんでした。 まず図をノートに書いて見ました。そうすると教科書で似たような問題を過去にやったことがあるので、ソレをまねすると、ＡＢとＡＣの中点をとります。ＡＢの中点をＭ、ＡＣの中点をＮとして ＡＢ⊥ＭＮ、ＯＭ⊥ＡＢとしました。 ここから、余弦定理とか用いてCosΘを導こうとしたのですけど、 式が作れませんでした＞＿＜！！ あと、モウ一つ質問なのですけど、今回の側面と底面のなす角というのは∠ＯＡＣのことだと思うのですが？？合ってますでしょうか？？ もし仮にあっていたとしたら、頂点をＯとして、Ｏ－ＡＢＣＤを書いてみて、ＡＢＣＤが正方形なので、たとえば三角形ＯＡＣとしてみたら、 ＯＡ＝b,ＯＣ＝bでＡＣが√２a＾２となりますか？？ ＡＣは、三平方の定理を使って。。AB＾２+BC＾２＝AC＾２と考えて。。a＾2+a＾2=AC＾２ より、AC=√2aとまでしました。。 しかし、この後これら得たものを使って 答えのcosΘ＝a/√(4b＾2-a＾2)を得る事ができませんでした＞＿＜ 誰か教えてください、宜しくお願いします！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
お礼が遅れてすみませんでした。 非常に分かりやすかったです！ありがとうございます！