円に内接する四角形に内接する円

質問

円と接線に関する問題がわからないので質問します。
半径5cmの円Oと半径2cmの円O'の共通外接線Lと共通内接線Mとがあり。円O,O'と接線Lとの接点P,P'とし、円O,O'と接線Mとの接点R,Sとする。LとMの交点Qとして、OO'=9cmとするとき、四角形OPQRに内接する円の半径を求めなさい。という問題です。
解説でわからない点は、四角形OPQRに内接する円の中心はOQ上にあるということです。半径5cmの円Oと四角形OPQRに内接する円の相似の中心はQだからかと思いましたしが、納得できません。どなたか、四角形OPQRに内接する円の中心はOQ上にあるということを説明してください。お願いします。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

問題図で、△OQP≡△OQRですね。
（理由は、OQが共通、OP=OR（円の半径）、∠OPQ＝∠ORQ（＝直角）、よって直角三角形の合同条件から△OQP≡△OQR）

　これから∠OQP＝∠OQRとなります。
　内接する円の中心をO'としたとき、同じ理由で△O’QP≡△O’QRから∠O’QP＝∠O’QRとなり、OとO'とが同一直線上にあることになるのです。

お礼

∠Qが合同な三角形によって2等分されるので、OとO'が同一直線上にあるとの説明ありがとうございます。

補足

内接する円の中心をO'とし、Q,PをO'と結ぶのではなく。新たにその円とL,Mの接点を描き、直角三角形をつくる。でよいですか？

回答No.3

kiha181-tubasa

Ｎｏ１です。補足に書かれたとおりでした。円O'との新たな接点をP',R'として書くところを間違えてしまいました。失礼しました。
　説明の要点は、点Oも点O'も∠PQRの２等分線上にあるという事ですね。それで「四角形OPQRに内接する円の中心はOQ上にある」を示したことになるのですね。

お礼

小さなことに、お返事いただきありがとうございます。

回答No.2

tanakanono

線OQを引くと四角形OPQRを2等分します。線M、線Lが円Oの接線だからです。
四角形OPQRに内接する円も線OQにより2等分されます。
円を2等分するには中心を通るしかありません。

お礼

四角形が2等分されることを利用するんですね。解説ありがとうございます。