数学（図形） 正四面体の辺接球（稜接球）

質問

数学（図形）　正四面体の辺接球（稜接球）

上記内容について質問させてください。
正四面体ABCDの頂点Aから、その対面（△BCD）に下ろした垂線の足をHとする。
正四面体の各辺に接する球（辺接球・稜接球）の中心（S）とA、Hの３点が
一直線上にあることをどのように示せばよいのでしょうか。

お忙しいとは存じますがよろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

A=(0,0,√2)
B=(1,0,0)
C=(-1/2,√3/2,0)
D=(-1/2,-√3/2,0)
H=(0,0,0)
とすると
AB=AC=AD=BC=BD=CD=√3
(AH,BH)=(AH,CH)=(AH,DH)=0
だから
ABCDは正四面体でAH⊥BCDとなる
球とAB,AC,AD,BC,BD,CDの接点をE,F,G,I,J,K
球の中心S=(x,y,z)
とすると
SE=SF=SG=SI=SJ=SK
SE⊥AB,SF⊥AC,SG⊥AD,SI⊥BC,SJ⊥BD,SK⊥CD
BC=BI+CI
AE+BE=AB=AC=AF+CF=AE+CF
BI=BE=CF=CI
CD=CK+DK
AF+CF=AC=AD=AG+DG=AF+DG
CK=CF=DG=DK
AE=AF=AG=BE=BI=BJ=CF=CI=CK=DG=DJ=DK
E=(A+B)/2=(1/2,0,√2/2)
F=(A+C)/2=(-1/4,√3/4,√2/2)
G=(A+D)/2=(-1/4,-√3/4,√2/2)
I=(B+C)/2=(1/4,√3/4,0)
J=(B+D)/2=(1/4,-√3/4,0)
K=(C+D)/2=(-1/2,0,0)

(S-K,C-D)=((x+1/2,y,z),(0,√3,0))=y√3=0→y=0
(S-I,B-C)=((x-1/4,y-√3/4,z),(3/2,-√3/2,0))=(3/2)x=0→x=0

S=(0,0,z)
A=(0,0,√2)
H=(0,0,0)
S-H=(z/√2)(A-H)
だからS,A,Hは一直線上にある

お礼

muturajcpさん

ご丁寧に回答いただきありがとうございました。