空間図形の問題について

質問

半径１の球に内接する正四面体ABCDの１辺の長さを求める。
正四面体の１辺の長さをaとして、次の問いに答えよ。

(1)頂点Aから△BCDに下ろした垂線の足をHとする。
AH=hとするとき、BH,CH,DHをaとhを用いて表せ。
(2)hをaを用いて表せ。
(3)aを求めよ。

(1)(2)は解いて、
・BH=CH=DH=√a^2-h^2
・h=(√6/3)a
までは出来たのですが、
(3)をどうしたらよいものか見当がつきません。
答えは、(2√6)/3 になるようなのですが・・・

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

球の中心を O とすると AH は O を通る. そして AO = BO = CO = DO = 1 より OH = AH - AO = h-1. ここで △OHB が直角三角形であることを使う, のが多分正しい.
ま, 頭の中で図形を作って考えれば h = 4/3 であることはわりと簡単にわかるんだけどねぇ....