三角比 数I 空間図形

質問

(1)は解けたのですが、(2)、(3)の考え方が全く分かりません。解き方のヒントを教えて下さい。

１辺の長さがａの正四面体ＡＢＣＤに内接する球の中心をＯとする。頂点Ａを通り、この球Ｏに接するすべての直線が底面の△ＢＣＤと交わる点で円Ｃが作られる。このとき次のものを答えよ。
(1)正四面体ＡＢＣＤの体積
(2)球Ｏの半径
(3)円Ｃの半径

回答No.3

Musicful-hearts

(1)(2)(3)となっていることから、それぞれがつながりを持っているとして、説明をしていこうと思います。

まず、(1)
CDの中点をPします。
すると正四面体ABCDの体積Vは
V=ΔABP×CD÷3となります。
(∵ΔABPを底面とした三角錐×２)
そこでΔABPについて考えていきます。
すぐ分かると思いますが、ΔABPは
ABを底辺とし、AP=BP=√3/2*aの二等辺Δです。
三平方の定理で高さを出し、面積を求め、
体積を出すと(1)終了・

(2)内接球の半径ですが、
内接球はAP、BP上で接しています。
さらにAP、BPをそれぞれ2:1に内分していることが分かると思います。
ΔABPと円の図を書いて、相似比の関係で出せますね。

(2)'応用というか裏技というか、普通のテクニックというか…半径をｒとすると
V=(ΔABC+ACD+ADB+BDC)*r/3となります。
OからA,B,C,Dに直線を引くと三角錐が4つできていることがわかりますね。

(3)2番で説明したように
球の接点はそれぞれの面の内心であるので
2:1に内分されていますね。

回答No.2

10ken16

中心位置は、各頂点から各面に法線（垂線）を下ろしたときの交点です。やや直感的表現になりますが、正４面体は対称な図形なので、断面で考えます。

辺CDの中点をMとしたとき、△AMBは二等辺三角形となります。このとき、頂点A,Bから対辺に下ろした垂線の交点がOとなります。
(1)ができたと言うことは、∠AMBの値を余弦定理で求めるところまではできていると思います。MOが角の２等分線になっていることから、Oが垂線をどんな比に分けているかを求めればシメタものです。

(3)は正弦定理でOK

回答No.1

leonhard2

ヒント　ということなので。

(2)　ABOを通る面での断面図を考えてみる
(3)　球Oに接する直線は3つはわかるはず、その直線が△BCDと交わる点も3つ、3点を通る円はひとつ・・・と。

数学とか久しぶりなので違ったらごめんなさい。