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数学 三角比

三角形ABCにおいて、頂点Aから直線BCに垂直におろした垂線の長さは1、頂点Bから直線CAに下した垂線の長さは√2、頂点Cから直線ABに下した垂線の長さは2である。このとき、三角形ABCの面積と、内接円の半径、および外接円の半径を求めよ。

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  • k14i12d
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三角形の面積をSとすると S=(1/2)BC=(√2/2)CA=AB ←*)がわかります。 よって、AB=S、BC=2S、CA=(√2)Sと表されることがわかります。 ここで、余弦定理を使いますと、cosB=3/4がわかります。 また、三角比の定義よりABsinB=1は自明。 sinB=√1-cos^2B=√7/4から AB=4√7/7=Sを得ます。 *)よりCA=4√14/7、BC=8√7/7がわかります。 ところで、三角形の内接円の半径をrとしてS=(1/2)r(AB+BC+CA)と表されるので *、 r=2(3-√2)/7を得ます。 また外接円の半径をRとすると、CA/sinB=2Rと表されるので、 R=8√2/7が得られます。 *について、じっくり考えればわかると思いますので、自分で証明するなりなんなりしてみて下さい。 正弦定理、余弦定理も証明を1度はしましょう。

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質問者からのお礼

丁寧に解説してくださり、ありがとうございます! 確かに、定理や公式を丸暗記しても真の力はつかないと思いました。 アドバイス通り、余弦・正弦定理の証明にもチャレンジしてみたいと思います。 改めまして、ありがとうございました。

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