球の体積と表面積。答えが間違ってると思うのです・・

質問

問。

立方体Ａに内接する球Ｋと外接する球Ｌがある。
（３）ＫとＬの体積の比を求めよ。

答え。
１：３√３

（１）がＡとＫの表面積の比、（２）はＡとＫの体積の比です。
この（３）だけ答えを間違えました。
私の回答は、１：２√２です。

解き方としては、Ｋの半径をｘ、球Ｋ、Ｌの中心をＯとします。
Ｏから立方体Ａの頂点に引いた直線は球Ｌの半径になり、
またその直線は、立方体Ａに内接する球Ｋの半径から√２ｘと分かります。
（直線と内接円の半径から、４５°、４５°、９０°の二等辺三角形が出来るため。）
従って球Ｌの半径は√２ｘです。

球の体積の公式から、Ｖ＝（４/３）πｒ＾３なので、
それぞれ、（４/３π）ｘ＾３、（８√２/３）πｘ＾３となりました。
なので体積比は、１：２√２となったのです。

この問題集には詳しい解説が載っておらず、回答と解法の一部が載ってるだけです。
その解法の一部ですが、
「立方体Ａの１辺の長さをａとすると、球Ｋ、球Ｌの半径はそれぞれ、ａ/２、√３ａ/２」
とありました。

どうして回答を間違えたのか、分かりません。
また、解説の球Ｌの半径が√３ａ/２となるのも分からないのです。
この二等辺三角形から、１：１：√２が成り立ち、立方体の１辺をａとするなら、
球Ｌの半径は√２ａ/２になると思います。

お手数ですが、ご意見。・ご回答お願いします。

回答No.1

chopposhi · ベストアンサー

えっと、勘違いされておられます。

Ｏから立方体Ａの頂点に引いた直線は球Ｌの半径になり、
またその直線は、立方体Ａに内接する球Ｋの半径から√２ｘと分かります。
（直線と内接円の半径から、４５°、４５°、９０°の二等辺三角形が出来るため。）
従って球Ｌの半径は√２ｘです。

ここが間違っています。

あなたの考えでは、立方体の各辺の中点を通る球になりますので外接しません。

立方体に外接する球は立方体の8つの頂点を通る球です。

ここに気づけば、ご自身でも解けますよね。

立方体Ａ任意の2頂点をＰ、Ｑとおき、
立方体の辺ＰＱの中点をＭとおくとＯＭ＝√2x

ＯＰ^2＝ＭＰ^2＋ＯＭ^2＝x^2＋2x^2＝3x^2

∴ＯＰ＝√3x

球Ｌの半径＝ＯＰ＝√3x

となりますので、解答にたどり着くと思います。

球Kの半径を文字に置き換えたほうが計算は楽です。
そこに気付いて計算されたんですから、
数学のセンスはけっこうあるんだと思います。

勘違いされなければ解ける問題です。

頑張ってください。

回答No.5

noname#163178

３番ですが、立方体のＡと点Ａとが同じ記号で被ってしまいました。失礼。

回答No.4

noname#232491

立方体の辺の長さが１のとき
立方体の対角線の長さは　やはり√３　です。
（これは立方体に外接する球の直径になります）
長さ１と長さ√２で直角をなす直角三角形の　斜辺の長さです。

回答No.3

noname#163178

＞立方体Ａに内接する球Ｋの半径から√２ｘと分かります。

ここがおかしいです。

添付の図でいうと、黒い線の部分がＡとみて、ＯＡがＫの半径です。
ＯＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝ｘで、∠ＡＣＯ＝∠OBC=直角なので、
ＯＡ＾２＝ＯＣ＾２＋ＣＡ＾２＝（ＯＢ＾２＋ＢＣ＾２）＋CA^2＝（ｘ＾２＋ｘ＾２）＋ｘ＾２＝３ｘ＾２
からＯＡ＝（√３）ｘになります。

回答No.2

asuncion

問題集の記述がいつも正しいとは限らない、ということかもしれません。