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円錐の体積について

半径1の球に高さhの円錐が内接している(写真を参照)。 (1)この円錐の体積Vをhで表してください。 (2)Vの最大値とそのときのhの値を求めてください。 できればやり方なども教えてください。 回答よろしくお願いいたします。

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みんなの回答

  • 回答No.5

回答4への補足です。  1の答では、係数はまとめて前に出すのが原則で π/3が先頭に来ます。   また因数分解はこれ以上できない形で書きますので、h^2(2-h)です。   なぜ因数分解したほうが良いのかというのが、この補足の目的ですが、  それは、因数分解しておけば、慣れてくると、グラフの形がおのずと頭に浮かぶということです。  3次関数の場合、3次の係数が負である場合は、右下がりの形ですよね。  因数分解しておくと 一般には x軸 、 この場合は h 軸との交点がすぐにわかります。  h^2(2-h) =0 の答えは、0が2回(重解)と2ですね。  つまり 0で接して 2を横切る そして右下がりの N 型      でグラフは図のようになるとグラフが頭に浮かぶ。(たくさん解いていればわかるようになります。)   グラフ再掲・・・・・

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  • 回答No.4

 おはようございます。  補足への回答です。  ア)1の解答の書き方は、どちらでも正しいですが、この場合のようにπのように複雑な係数がつくときは、  因数分解できる場合にはその形で書く方が一般的には良いのです。   したがって h の式の部分は h^2(2-h) とします。  イ) hは高さなので動けるのは直径の上ですね。だから最大直径の長さまでですが 直径 2 になると   円錐ではなくなりますから 0<h<2 となります。  問題を考えるときに条件に合う円錐をいろいろと書いてみるのが、考える基本です。すると イ)のことに気がつくはず。  問題を考えるときはたくさん絵を落書きしましょう。

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  • 回答No.3
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

No.2です。対補足 (1)の答えがV=π*h*(2h-h^2)/3={-π/3}(h^3-2h^2) となるといういけんもありますが、 V=(1/3)π(2h-h^2)*h=πh^2(2-h)/3のほうが正しいのでしょうか? >{-π/3}(h^3-2h^2)={π/3}(-h^3+2h^2) ={π/3}(2h^2-h^3)={π/3}h^2(2-h)=πh^2(2-h)/3 であり、同じ答です。

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  • 回答No.2
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

(1)この円錐の体積Vをhで表してください。 >球x^2+y^2+z^2=1を平面z=-|h-1|で切った切り口は 円x^2+y^2=1-(h-1)^2=1-(h^2-2h+1)=2h-h^2であり、 その面積はπ(2h-h^2)。よって V=(1/3)π(2h-h^2)*h=πh^2(2-h)/3・・・答 (2)Vの最大値とそのときのhの値を求めてください。 >dV/dh=(2π/3)h(2-h)-(π/3)h^2=(π/3)h(4-3h) dV/dh=0の解はh≠0だからh=4/3 dV^2/d^2h=(π/3)(4-3h)-3(π/3)h=(2π/3)(2-3h) h=4/3のときdV^2/d^2h=(2π/3){2-3(4/3)}=-4π/3<0 だからh=4/3でVは極大となり、その値は V=πh^2(2-h)/3=π(4/3)^2{2-(4/3)}/3=(32/81)π Vの最大値:(32/81)π、そのときのhの値:4/3・・・答

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質問者からの補足

回答ありがとうございます。(1)の答えがV=π*h*(2h-h^2)/3={-π/3}(h^3-2h^2)となるといういけんもありますが、V=(1/3)π(2h-h^2)*h=πh^2(2-h)/3のほうが正しいのでしょうか?

  • 回答No.1

こんばんは。  まず円錐の体積 V は底面の半径 r と高さ h がわかっていれば、円錐の体積の公式   体積 = 1/3 x 底面積 x 高さ   ですから、V =1/3 ・πr^2 ・ h ですね。  式(1)   いまわかっているのは h で r は 中心O と底面の円の球への接点のひとつ A と 高さの足(高さの線と  底面の交点) B でできる直角三角形OABで 三平方の定理を使って     1^2=r^2+(1-h)^2  という関係から r^2 がでます。   円錐の底面が球の中心より上にある場合、 OB=1-h 下にある場合 OB=h-1 ですが、   三平方の定理では2乗しますから どちらの場合でも 上の式で正しいことになります。   ここから r^2 = 1-(1-h)^2 ですから、これを 式(1)に代入すれば Vは h だけの式になります。  これで 問1の回答は終わり。   問2 は Vが hの三次式ですから、微分を使うことになり、 高さ h の範囲が 0 より大きく   2より小さいことを条件に、3次式のグラフを書いて求めることになります。   V=π/3h^2(2-h) 式(2) で、係数π/3は いちいち面倒なので、     y=h^2(2-h) のグラフを書きます。      展開して微分すると y´=h(4-3h)   になりますから、 y´=0 になるのは、 h=0と h=4/3   増減表を書いてグラフを書けば図のようになり、H=4/3のときが最大で   式(2)に代入して Vの値(最大値)もわかります。   増減表を書くのと計算はご自分でやってくださいね。   がんばって・・・・・

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質問者からのお礼

申し訳ないです。補足に付け足しします。hの範囲が0<h<2になる理由が分からないので教えて頂けないでしょうか?

質問者からの補足

回答ありがとうございます。(1)の答えがV=π*h*(2h-h^2)/3={-π/3}(h^3-2h^2)となるという意見もありますが、V=(1/3)π(2h-h^2)*h=πh^2(2-h)/3のほうが正しいのでしょうか?

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