- 締切済み
円形の紙から扇形を切りとって円錐を作り、円錐の体積
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
みんなの回答
- jcpmutura
- ベストアンサー率84% (311/366)
1 r=aθ/(2π) 2 h=a√[1-{θ/(2π)}^2] h=a√{1-θ^2/(4π^2)} h={a√(4π^2-θ^2)}/(2π) 3 V={a^3/(24π^2)}θ^2√(4π^2-θ^2) V={a^3θ^2√(4π^2-θ^2)}/(24π^2) 4 V(θ)' ={a^3/(24π^2)}[2θ√(4π^2-θ^2)-θ^3/√(4π^2-θ^2)] ={a^3/(24π^2)}θ(8π^2-3θ^2)/√(4π^2-θ^2) ={a^3/(24π^2)}3θ{π√(8/3)-θ}{π√(8/3)+θ}/√(4π^2-θ^2) 0<θ<π√(8/3)の時V'>0だからVは増加 θ>π√(8/3)の時V'<0だからVは減少 だからVを最大にするθは θ=π√(8/3) 5 θ=π√(8/3) ≒3.14159*1.633 ≒5.13 おおよそ 5.13° なお(√8)/3≒1.633ではなくて (√8)/3≒0.9428 √(8/3)≒1.633 です
- Nouble
- ベストアンサー率18% (330/1783)
必ず何時も 他の人に 解を求められる そんな事は あり得ません 魚を与えず、釣り方を示せ と、言います 今回も、 考え方、アプローチを示す 此が良い と、思います。 まず、 1、2、 其れを 解いてください 1は 紙の円弧が 立体の底面円周になる と、言えば お解りになる で、しょう 2は 方針としては 立体の断面 其れを想像します。 断面を二等分する と、 切断した箇所の長が 高さと等しくなる 其の事から 高さを求めます。 まず、此の立体 其の底面の半径は 1で求めた 円周の長さ 其れを持つ 円の半径 此と同じです 此の立体 其の断面 其此の長さは 紙の円弧 其の半径です さて、 此の立体 其の断面 縦に真っ二つに 此を割ります 今切り出した切断面 其れの長さ 其れが、立体の高さと同じ です、 今切り出した形 其れは、直角2等辺三角形 て、斜辺と底辺の長さ 其れが、既に此処迄で 判っています。 直角2等辺三角形の場合 3辺の内、2辺の長さが判れば もう1辺の長さ 此も、ピタゴラスの定理から 判ります よね? 先に書いた通り 此の残りの1辺の長さ 其れが、高さと同じです ので、 高さは此処迄で 求まります よね? 3は、公式でも見てください さて、問題は4 ですね 一般的に どんな形であろうとも 体積は 高さ×底面積×形由来の係数 此の累和で 求まります 此の時、係数は 形次第の普遍の定数 詰まりは 形が変わらない限り不変 体積の増減 其れに影響しません 無視してみます。 すると、結局は 立体の体積増減 此に関わるのは 高さと底面積 其のかけ算です よね? 言い換えれば 2値の掛け算が体積 其の体積を最大にしたい と、いう事は 2値の掛け算を最大にしたい と、同じ事 ですよね? で、 2値の掛け算は 一般化すると (n-a)(n-b) と、置けます 省略しますが (n-a)(n-b) 此の最大を取る時 其れは、 a = b と、なります 言い換えれば 2値の掛け算においては 其の2値が等しい時 最大となる そういう訳です 纏めてみましょう 4では 体積最大を求めている 其れは、高さと底面積と係数 其の掛け合わせである だが、 3で求める体積最大 其れに、係数は関わらない 体積は高さと底面積にのみ左右され 此の積で求まる 詰まり、2値の積である。 高さと底面積の積 と、いう 2値の積の最大は 各々か等しい時である 詰まりは 底面積と高さの値か等しい時 1で求めた値 其れから算出される底面積 2で求めた高さ 此が同じ時 最大となる の、です 5ですが 引っかけ 其れも、確かにあります が、((√8)/3)`2 詰まり、8/9 其れが、出てきて 尚かつ 此の8/9という値が 既に2乗された値である 故に、8/9 = n^2 n = √(8/9)≒1.633 なのでしょう
関連するQ&A
- 直円錐形の体積などを求める問題です。 順を追って説明をお願いします。
閲覧ありがとうございます。 半径rの円形の紙から扇形を切り取って、直円錐形の容器を作り、その容器を最大にしたい。 切り取る扇形の中心角をθとするとき、次の問いに答えよ。 (1)直円錐形の容器の体積Vをr、θの式で表せ。また、θの変域を求めよ。 (2)Vの最大値を求めよ。また、そのときのθの値を求めよ。 どうか、説明をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円錐の問題なんですが
底面の半径がr、高さがhの円錐の円錐がある、表面積をS、体積をVとすると Sを一定に保ちながらVを最大にする、最大になったときのh/rの値を求めよ という問題なのですが、 式をたてたところ、S=3V/h(1+(√πh^3/3V+1))(中のカッコ内全てルートの中です) となり、ここでどうにもならなくなっちゃいました。 式が間違っているのでしょうか?それともこの式から先があるのでしょうか? 教えて下さい 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分、球と円錐の体積の最小値の問題
問:頂点がz軸上にあり、底面がxy平面上の原点を中心とする円である直円錐がある。この円錐の側面が原点を中心とする半径1の球に接しているとき、この円錐の体積の最小値を求めよ。 答:(√3)π/2 問題集の解説: 円錐の底面の半径をr,高さをhとおくと、側面が半径1の球と接するから、{√(r*r-h*h)}=rh ・・・(1) より r*r=(h*h)/(h*h-1) (1<h) 体積をVとおくと V=(π*r*r*h)/3=(π*h*h*h)/3(h*h-1) であるから (π/3)*(1/V)=(1/h)-(1/h*h*h) f(x)=x-x*x*x (0<x<1)・・・(2)の増減を調べると、 f(x)は0<x<1で正の値をとり、x=1/√3 のとき最大値(2√3)/9をとるからVは、h=√3のとき最小値をとる。 質問: 1.何故、(1)が成り立つのでしょうか? 2.(2)が何を表しているのかがよくわかりません。(2)以降よくわからないので、解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の質問です。体積が最大になる時の円錐の高さを求めたいです。
微分の教科書を使って勉強をしていると、次のような練習問題がありまして、頭を悩ませております。 ◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ 問題: 図(添付画像)の直円錐で、頂点Oから底面の円周上の点Aまでの 長さaが一定であるとき、その体積が最大になる場合の高さを 求めよ。 ◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ 答えは「(√3/3)a」らしいです。 円錐の体積の面積は、「1/3×(底面積)×(高さ)」なので、この公式を用いれば、半径をrとすると、 直径の面積×π×h×1/3 =(2πr/3)h となるのですが・・・解答には"r"や"h"が出てきていないので、全部aを使って表すことができるということなのでしょうか? どうすれば体積を最大にする高さを求められるのかご教授いただきたいです(>_<) よろしくお願いします<m(__)m>
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円柱に内接する円錐と球の体積
底面の半径が2、高さが4の円柱がある。 いま、円柱の中に出来る最大の円錐と球が円柱に内接している。 このとき、円柱の体積U、円錐の体積V、球の体積Wを求めよ。 U = 2^2*π*4 = 16π V = (1/3)*2^2*π*4 = 16/3π ここまでは分かるんですが、最後の珠の体積Wの求め方が分かりません。 そもそも球は円錐の中に収まっている状態なのでしょうか? 求め方を教えてくださいm(_)m
- 締切済み
- 数学・算数