直円錐形の体積などを求める問題です。 順を追って説明をお願いします。

質問

閲覧ありがとうございます。

半径rの円形の紙から扇形を切り取って、直円錐形の容器を作り、その容器を最大にしたい。
切り取る扇形の中心角をθとするとき、次の問いに答えよ。

(１)直円錐形の容器の体積Ｖをr、θの式で表せ。また、θの変域を求めよ。

(２)Ｖの最大値を求めよ。また、そのときのθの値を求めよ。

どうか、説明をお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

(1)からθの変域は0<θ< 2πなので
増減表のθの両端は0と2πとしておいた方が、
何も書かないよりはいいでしょう。

θを0や2πに限りなく近づければ極限の体積は0になりますね。

その他は、OKでしょう。

回答No.2

info22

>これであっていますか？
間違っています。

>V=Sh/3=(π/3)(a^2)*√{r^2-a^2}
>半径a = rθ/(2π)
>高さh = (r/(2π))√(4π^2 - θ^2)
>よって、V = (r^3) {(θ^2)/(24π)}√(4(π^2)-θ^2）
ケアレスミス。
V = {(r^3)/(24π^2)}(θ^2)√(4(π^2)-θ^2）

>変域はθ < 2π
θ>0なので

0<θ< 2π

(2)0<θ< 2πでの Vの増減表は自分で↓に作成して下さい。

V(θ)= {(r^3)/(24π^2)}(θ^2)√(4(π^2)-θ^2）
V'(θ)=-(r^3)θ(3θ^2-8*π^2)/[24(π^2)√{(4π^2)-θ^2}]
V'(θ)=0となるθ, 0<θ< 2π よりθ＝2π√(2/3)
最大値V(2π√(2/3))=2π(r^3)/(9√3)

補足

訂正ありがとうございます。

θ、ｒ、πはそれぞれ正の値であるから、
V'の3θ^2 - 8π^2 < 0となったら全体も負となる。
仮にπ、2πをそれぞれ代入して増減表を考えると、

θ　…　2π*√(2/3)　…　
V'　＋　　　０　　 　－
V　 ↑ 2π*r^3/9√3 ↓

よって、
θ=2π*√(2/3)のとき、Vが2π*r^3/9√3で最大

で合っていますか？

回答No.1

info22

基本的な問題なので教科書程度の微積の知識や微分中学の数学の知識があれば解けます。
全くの丸投げの他力本願の投稿は禁止なので、自分で分かっている所までの解答と途中計算を書いてください。その上でどこが分からないか質問して下さい。

解き方のヒント
(1)
円錐底面の半径a=rθ/(2π),円錐の高さh:h^2+a^2=r^2 なので

V=Sh/3=π(a^2)*√{r^2-a^2}= ... 　←計算してください。

θの変域は
r^2-a^2＞0　← aの式を代入してθの変域を求めてください。

(2)
(1)で求めたVの増減表をθの変域で作って最大値を求めてください。

補足

すみません。
教科書に例題などが無かったため、早々に諦めて十分に調べもせずに質問してしまいました。

（１）だけやってみました。

半径a = rθ/2π
高さh = r/2π√(4π^2 - θ^2)
よって、V = r^3 θ^2/24π√(4π^2-θ^2）

変域はθ < 2π

これであっていますか？