数学の問題２つぜひ解き方を教えてください。

質問

次の２つの問題の解き方をぜひ教えてください。できれば答えまで教えていただけるとうれしいです。

問題１．定球の体積とその定球に外接する体積最小の直円錐の体積の比を求めよ。また、表面積の比も求めよ。

問題２．円形の紙から扇形を切り取って漏斗を作り、その容積を最大にするには切り取る中心角をいくらにすればよいか？

それではよろしくお願いします。

回答No.4

kony0 · ベストアンサー

じゃ、私流の解き方を。少なくとも、問題１．は計算難しくないですよ。
時間がないので、説明不足な点が多くなりますが、ちょっと書いてみます。これだけ考え方はわかってもらえるでしょう。考え方は奇抜なところは１つもありません。

問題１．
まず、体積「比」および面積「比」を求めるので、球の半径を１としても問題なし。
考える立体をまっぷたつに切ると、底辺2r, 高さhの二等辺三角形に半径1の球が内接している図がかけます。（r,hは求める円錐の底面の半径および高さ）
ここで、二等辺三角形の頂点をA、底辺をBC、BCの中点をM、内接円の中心をIとし、IからABにおろした垂線の足をHとする。
△AIH∽△ABMでその相似比はIH:BM=1:r
ここでAI=h-1だから相似比を考えてAB=r(h-1)
△ABMで三平方の定理：r^2 + h^2 = {r(h-1)}^2 → r^2 = h/(h-2)（h>2は明らか）
円錐の体積：V=(1/3)πr^2*h = (1/3)π * h^2/(h-2)・・・ここまでなら中学生の問題。ただし微分を扱う高校生以上の場合、式でごりごり押し通そうとして、相似が見えなくなる可能性がありますが。
よって、dV/dh = (π/3) * h(h-4)/(h-2)^2
よって、V最小となるのは、h=4のとき（このときr=√2)で、V=(8/3)π・・・球の体積の２倍（終）

問題２．
もとの円の半径を１（としても問題なし）、切り取る中心角をx（ラジアン）とします。すなわち扇形の弧長はx。
ということは、求める漏斗は母線の長さが1、底面の半径がr=x/2πの円錐となります。
高さをhとおくと、r^2 + h^2 = 1 が成り立つ。
V=(1/3)πr^2*h より、V^2 = (π/3)^2*r^4*(1-r^2)（V>0なので、V^2の最大化を考えても必要十分）
ここで、V^2=v, r^2=u とでもおくと、v= C*u^2(1-u)（Cは定数）
dv/du=C*u(2-3u) よりu=2/3のときv最大→x=2π*√(2/3)のときV最大（終）・・・starfloraさんと全く同じ回答です。

。。。かわいげのない回答ですみません。（陳謝）
そのわりに、計算間違いとかしてると怖いのですが、考え方だけでも見てください。考え方には「自信あり」です。

最後に、FOX315さんはどのような切り口で解き崩そうとされたか、途中経過まででもお教えいただけるといいかな？と思います。(^^)

回答No.3

starflora

問題１）これは解き方の原理は簡単なのですが、計算がたいへん面倒なのです。No.2 の人は、自分で式を立てていないようですね。昨夜考えていましたが、計算が面倒なので、どうなるか置いておいたところ、やはり回答する人はいません。

　　理論的には、球の半径を１，円錐の底面半径をｒ、高さをｈとすると、ｒを無限に大きくして行っても、高さは球の直径２以下にはなりませんし、反対に、ｈを無限に大きくして行っても、半径ｒは、球の半径１以下にはなりません。従って、体積は、ｒかｈのどちらかを無限に大きくしてゆくと、無限になるので、その中間のどこかで、有限の最小＝極小値を取るはずです。

　　円錐の体積を、１変数で表現して、この変数で、体積の式を微分し、それを＝０とすれば、極値が出てきます。問題は、体積式が、たいへん面倒な形になることです（難しい形になるのではありません）。

　　では、具体的に計算しましょう。球の半径は１，円錐の底面半径はｒ、円錐の高さはｈです。そこで、これは図を描いてもらわないと分かりにくいですが、球の中心を通る、垂直な面で切って、その断面を考えます。真ん中に、左右二つの接点を、二等辺三角形と持った円があります。この円が球の断面で、二等辺三角形が円錐の断面です。この二等辺三角形の二つの底辺の角度を、ｓとします。本当はギリシア文字がよいのですが、ギリシア文字を書くのは一々面倒だからです。そして、ｔ＝(π/2)－ｓという式でｔを決めます。ｔは何になるのか、図で見ると分かります。（２ｔが、円錐の三角形の頂点の角度になります）。

　　円錐の体積Ｖは、次のような式になります。V＝(1/3)*π(r^2)*h

　　従って、ｒとｈを求める必要があります。

　　r/h = tan(t) = sin(t)/cos(t),　　　　　　　　　式１）
　　1/(h-1) = sin(t)　　　　　　　　　　　　　　　式２）

　　何故、こういう関係式が出てくるかは、図を見て、よく考えてください。

　　式２より、h-1 = 1/sin(t) → h = [sin(t)+1]/sin(t)
　　式１より、r = h*sin(t)/cos(t) = sin(t)*[sin(t)+1]/[sin(t)*cos(t)]
　　＝[sin(t)+1]/cos(t)

　　(π/3)*W = V とすると、W = h*r^2

　　Ｗが極小になる値を求めればよいことになります。

　　W ＝ {[sin(t)+1]/sin(t)}*{[sin(t)+1]/cos(t)}^2
　　＝ [sin(t)+1]^3/[sin(t)*cos(t)^2]

　　こんな面倒な式になるので、計算が面倒なのです。とまれ、Ｗをｔで微分すると：

　　dW/dt ＝ 3*[sin(t)+1]^2*cos(t)/[sin(t)*cos(t)^2]
　　　　　　　－{ [sin(t)+1]^3/[sin(t)*cos(t)^2]^2}*{[cos^3(t)]-[sin(t)*2cos(t)*sin(t)]}
　　＝ 3*[sin(t)+1]^2*cos(t)/[sin(t)*cos(t)^2]
　　　　　　　－{ [sin(t)+1]^3/[sin(t)*cos(t)^2]^2}*{[cos^3(t)]-[2sin^2(t)*2cos(t)]}
　　＝ 3*[sin(t)+1]^2*cos(t)/[sin(t)*cos(t)^2]
　　　　　　　－{ [sin(t)+1]^3*{[cos^3(t)]-[2sin^2(t)*2cos(t)]}/[sin^2(t)*cos^4(t)]}
　　＝ 3*[sin(t)+1]^2*[sin(t)*cos^2(t)]/[sin^2(t)*cos^3(t)]
　　　　　　　－{ [sin(t)+1]^3*{[cos^2(t)]-[2sin^2(t)*2]}/[sin^2(t)*cos^3(t)]}

　　式が複雑で、何かよく分からないですが、計算間違いしているかも知れません（昨日も、式が錯綜して来たので、計算をやめたのですが）。

　　[sin^2(t)*cos^3(t)]＝０にはなりません。sin(t) も cos(t) も０にはならないからです。従って

　　Y＝3*[sin(t)+1]^2*[sin(t)*cos^2(t)]－{ [sin(t)+1]^3*{[cos^2(t)]-[4sin^2(t)]}＝０
　　＝ [sin(t)+1]^2*{3*[sin(t)*cos^2(t)]－{ [sin(t)+1]*{[cos^2(t)]-[4sin^2(t)]}}＝０

　　ここで、sin(t)+1 = 0 という解と、それに乗算する以下の式が０という二つの解画でます
　　{3*[sin(t)*cos^2(t)]－{ [sin(t)+1]*{[cos^2(t)]-[4sin^2(t)]}}＝０

　　無理に展開すると
　　＝ 3*sin(t)cos^2(t)-sin(t)cos^2(t)+4sin^3(t)-cos^2(t)+4sin^2(t)
　　＝ 2*sin(t)cos^2(t)+4sin^3(t)-cos^2(t)+4sin^2(t)
　　＝ cos^2(t)[2sin(t)-1]+4sin^2(t)[sin(t)+1]

　　(sin^2(t)+cos^2 = 1 より、cos^2(t) = 1-sin^2(t))
　　→　＝ [1-sin^2(t)]*[2sin(t)-1]+4sin^2(t)[sin(t)+1]
　　＝ 2sin(t)-2sin^3(t)-1+sin^2(t)+4sin^3(t)+4sin^2(t)
　　＝ 2sin^3(t)+5sin^2(t)+2sin(t)-1＝0

　　これは三次方程式です。しかし偶然か、sin(t)＝-1 を代入すると
　　＝ 2(-1)^3+5(-1)^2+2(-1)-1＝-2+5-2-1＝0　であるので、sin(t)=-1 が解の一つ。
　　式＝ [sin(t)+1]*[2sin^2(t)+3sin(t)-1]＝0

　　sin(t)=-1 という解は、この問題の場合、無効な解である。
　　従って、[2sin^2(t)+3sin(t)-1]＝0　を解いて、sin(t) を求める必要がある
　　sin(t)=x とすると
　　2x^2+3x-1=0 →　x=[-3+/-√(9+9]/4＝sin(t)
　　0<t<π/2　という条件があるので、0<sin(t)<1　従って、＋項が解で
　　sin(t)＝(3/4)[-1+√2]　　　この時、体積の式は極致を取る。
　　cos^2(t) = 1-sin^2(t) = 1-(9/16)[1+2-2√2]
　　＝ (16-27+18√2)/16 ＝ (-11+18√2)/16

　　W ＝ [sin(t)+1]^3/[sin(t)*cos(t)^2]　　に代入すると
　　W ＝ (3/4)^3*[3+√2]^3/(3/4)[-1+√2]*[(-11+18√2)/16]
　　＝ 9*[3+√2]^3/[11-18√2-11√2+36]
　　＝ 9*[3+√2]^3/[47-29√2]

　　体積Ｖ＝(π/3)*W　　としたので、これで体積は出ているのであり、
　　球の体積は、(4/3)π(1)^3＝4π/3　　であるので、比は、簡単に出てきます。

　　円錐の表面積は、π(r^2+h^2) に、2πr/[2π√(r^2+h^2)]　をかけたもので
　　ｒもｈも、上の式から出てくるので、自分で計算してください。

　　問題２）は、円形の紙の円の半径をＲとします。円錐の底面の半径をｒとします。中心角をｔとします。ｒは次の式で表現されます：
　　2πr/2πR＝t/2π　→　r＝Rt/2π
　　円錐の高さｈは、次の式で出てきます：
　　h^2+r^2＝R^2

　　Ｒ＝１としても問題の本質は変わらないので、こうします

　　h＝√(1-r^2)

　　円錐の体積Ｗ＝(π/3)h*r^2＝(π/3)r^2[√(1-r^2)]

　　この極致を求めればよいので、Ｗをｒで微分して、０と置きます。
　　面倒なので、自分で解いてください。

　　なお、以上の計算は、途中で計算間違いをしているかも知れません。もっと簡単な解になると思うので、変な答えになるのは、途中で計算を間違っているのかも知れません。

回答No.2

may-may-jp

1）球の半径をaとでもおいて、一つ一つ長さを求めていけば解けるはずです。ヒントは断面図です。

2）円錐を作るんですね。「容積を最大にするには」と「中心角はいくらか？」を分けて読む必要があります。大切なのは中心角ではなくて容積です。

回答No.1

kony0

うーん・・・微積を使う前の立式段階は、高校入試程度の問題なのですが・・・

１．は、考えるべき立体をすぱっと２つに切ったら、
「二等辺三角形の中に円が内接している」図ができますよね？
で、面倒なので、内接円の半径（もとの球の半径）を１として、二等辺三角形の底辺の半分（＝円錐の底面の半径）をｒ、二等辺三角形の高さ（＝円錐の高さ）をｈとして、ｒとｈの関係式を求めてあげればOKでしょう。
私なら二等辺三角形の等辺（＝円錐の母線）がr(h-1)になることを相似から持ってきて、三平方で式を組みます。
また、「表面積の比」は、「球」と「『体積』最小の直円錐」との比でしょうか？

２．もとの円の半径は面倒くさいので１として、求める中心角をΘ[ラジアン]とすれば、円錐の母線が１、底面の半径がΘ/2πになるので、高さは三平方を利用して終わり？！（微分のところ等、ちょっと式の処理がうざいですが）

自分なりに計算したのだと、
１．は、球：円錐の体積比は1:2、面積比は略
２．は、(2√6)π/3[ラジアン]＝（60√6）[度]
ただし、計算間違い等しているかもしれません。あしからず。

どこまで考えたのかをきちんと書かないと、適切な回答もらえませんよ。(--メ)