• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

内接球と正多角錐

高校一年のものす。授業で扱った問題で、気になった点があったので質問させていただきます。 「円錐の表面積・体積とその円錐に内接する球の表面積・体積を求めよ。」という意の問題があり、答えは覚えていないのですが... 「内接球の体積:内接球の表面積=円錐の体積:円錐の表面積」 とにかくその問題の答えから、↑のような結果が生まれました。更に正4面体でも同じ結果(球の体積:表面積の比率と同じという結果)がでてきました。  そこで思ったのですが、 「内接球の体積:内接球の表面積=その内接球を持つ正n角錐の体積:その内接球を持つ正n角錐の表面積」 みたいな法則ってあるのでしょうか。  ちょとした興味で得た疑問で、まだ三角比を学んだ辺りなので、難しいことはよくわかりません。簡単に教えてください。また、この質問にある式自体assyuburannkaの勘違いだという場合もお知らせください。        よろしく御願い致します。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.5
  • nakaizu
  • ベストアンサー率48% (203/415)

そのとおりです。この性質は実は内接球がある全ての多面体について成立します。 証明も簡単です。 多面体の各面の面積を(n面あるとします)をS1、S2、S3、…、Snとします。 内接球の中心をOとします。また内接球の半径をrとします。 Oから各面、たとえばS1の頂点に線を引くと多角錐ができます。 各面は内接球に接しているので高さはrとなり、この多角錐の体積は1/3 rS1 です。 このような多角錐すべてをあわせると多面体となりますから、多面体の体積は 1/3 r(S1+S2+…+Sn) となります。 つまり、多面体の体積と表面積の比は 1/3r:1 となり、これは内接球の体積と表面積の比と同じです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

なるほど!確かにそうなる気がします。 とても分かりやすい・・・ありがとうございました。

その他の回答 (4)

  • 回答No.4
  • tarame
  • ベストアンサー率33% (67/198)

他の方々がお答えの通り、確かに成り立ちます!! こんな関係が成り立つなんて、私も初めて知りました。 こんな感じの証明でどうでしょうか? 図があれば説明しやすいのですが、何とか読み取ってください。 高校1年生にもわかるようにしたつもりです。 【証明】 正n角錐の体積を V、表面積を S、頂点をPとする。 底面の中心をO、1辺をABとし、三角錐Z(P-OAB)を考える。 ABの中点をMとし、OM=m,OP=h,MP=L とする。 Zの体積は V/n=(1/3)×△OAB×h Zの側面積の一部(△OAB+△PAB)は S/n=△OAB+△OAB(L/m) より V:S=V/n:S/n=h/3:(1+L/m) ここで、内接球の半径をrとすると  (Zの側面図…半円が接している三角形をイメージして) 三角形の相似比により L:h:m=(h-r):(L-m):r だから L/m=(h-r)/r V:S=h/3:(1+L/m)=h/3:h/r=r:3

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます、大変参考になりました。式を見ただけでは理解しにくいので、じっくり図を描きながら考えてみたいと思います。

  • 回答No.3
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

No.1です。 正三角錐の場合も成り立つことが分かりました。同じようにすれば、nが奇数の場合も成り立つことが証明できます。 結局、証明の手続きをまとめると、 nが偶数の場合は、正四角錐と同じ手法で証明できますし、nが奇数の場合は、正三角錐と同じ手法で証明できます。(わたしが、使った定理は、ピタゴラスの定理だけです。難しい定理は一切使いませんでした。したがって、中学生にも証明できると思います。) したがって、nが全ての整数の場合(n>=3)について、 「内接球の体積:内接球の表面積=その内接球を持つ正n角錐の体積:その内接球を持つ正n角錐の表面積」 が成り立つことが分かりました。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

なんと、ピタゴラスの定理だけで・・・。最も、今の時点で、私はその定理ぐらいしか知りませんが・・・。 とりあず、正三角錐と正四角錐の証明を考えてみたいと思います。この二つが証明できても、どうやって全ての正多角錐に繋がっていくのか私には見当もつきませんけど。   成り立つことの確認をしていただき、ありがとうございました。

  • 回答No.2
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

No.1です。 正n角錐について、nが偶数の場合は、証明できました。nが奇数の場合は、どなたか証明していただけないでしょうか。 わたしの、「任意のn角錐について、成り立ちそうだ」という予想の確信度は99.99パーセントに上がりました。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

少なくとも、偶数のn角錐では成り立つのですね?御手数をかけていただき、ありがとうございます。  このことは、一般的には言われていないことなのでしょうか?自分の数学担任の先生は、未だこれを証明した本に出会っていない。興味があるなら調べてみなさい。・・・と言っていましたが。  調べたくても、何をどうしていいのやら・・・。

  • 回答No.1
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

たいへん、勉強になりました。 「内接球の体積:内接球の表面積=円錐の体積:円錐の表面積」 は、実際、計算してみると確かに成り立ちます。いままで、この性質を知らなかったことが恥ずかしい限りです。 正三角錐では少し、難しそうですので、正四角錐に内接する球で計算してみると、成り立っていました。 一般的に、 「内接球の体積:内接球の表面積=その内接球を持つ正n角錐の体積:その内接球を持つ正n角錐の表面積」 も成り立ちそうな気がしてきました。しかし、証明は難しそうなので、あきらめました。どなたか、根気のある方は是非、挑戦してみて下さい。 わたしの予想では、ほぼ、間違いなく(99%?ぐらいの確信を持っていますが・・・)成り立つと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 空間図形の外接、内接球について

    一辺の長さが2の正四面体について (い)正四面体に外接する球の表面積を求めよ (ろ)正四面体に内接する球の体積を求めよ (は)外接球、内接球の表面積の比と体積の比を求めよ 解説お願いします

  • 三角錐の表面積

    三角錐の表面積の求め方について質問があります。 普通、球の表面積を求めるときは、球(球A と仮定する)をつくり、その球より一回り小さい球(球Bと仮定する)をつくり、球Aの中に球Bをいれ、球Bを球Aの大きさに近づけて、その体積の極限をとることで(微分してやる)ことで球の表面積を求めますよね。その考え方を利用して、三角錐の表面積を求めてみたいと考えてみたわけですが、うまくいきません。(高さと半径という変数が二個あるので偏微分をつかうのかなと考えてみたり、問題を簡単にするために、三角錐の高さと半径を同じ長さを考えてみましたがうまくいきませんでした。) なお、三角錐の展開図から求める方法はわかっています。 よろしくお願いします。

  • 高校 三角錐に内接する球の半径

    AB=AC=AD=6、BC=CD=DB=6√2である三角錐に内接する球の半径を求めよという問題で ボクは△BCDに内接している円と考え △BCDの面積を「2/1×6√2×6√2×sin60」で求め △BCD=2/1×r×(3×6√2)で計算したのですが 何度やっても答えが合いません… どこか間違っているかわかる方解説よろしくです。 実際の答えの解説は本に載っているので大丈夫です。

  • 図形と計量(高校数学I)

    図形と計量の問題で 「半径2の球に高さ3の円錐が内接している。球と円錐の体積比と表面積比を求めよ」 が分かりません。ヒントによると円錐の底面は√3になるそうですが何故でしょう。球の体積と表面積は分かるのですが・・・。 ちなみに答え(球:円錐)は体積比32:9、表面積比は16:9だそうです。 確かに円錐の底面の半径が√3ならこのようになるのは分かりますが、どうやって考えればいいのでしょう?

  • 三角形の問題なのですが

    宿題なのですがどうしても自分の力だけでは解けませんでした。 高校の数学なのですが、教えてください。 よろしくお願いします。 (1)半径3の球の体積と、半径4の底面を持つ高さ6の円錐n体積の比の 求め方を教えてください。 球の体積?:円錐の体積? (2)半径4の円に内接する正三角形の面積の求め方を教えてください。 △ABC=? 問題が多くてすいません。

  • 三角錐の体積の求め方について教えてください

    三角錐の体積の求め方について教えてください まず最初に、算数レベルの計算も涙目で必死にならないと解けないおばちゃんからの質問だという事を念頭に置いててください。 一辺の長さが5ミリの三角錐があるとして、その三角錐の体積を求めたいのですが、 三角錐の体積=底面積×高さ×三分の一 という式があるまではわかったのですが、三角錐の高さが不明ゆえ計算できません。 一辺5mmの正三角形の面積は(底辺5x√3)÷2で高さを割り出し4.33012702とし 底辺5x高さ4.33012702÷2=10.8253175 おばちゃんの頭でなんとかできたのはここまでです。 お暇な方がいらしたらご教授いただけると嬉しいです。 なんでこんな計算がしたいかといいますと・・・ 生姜をすってて最後に指先でギリつまめる程度の三角錐の欠片が残り、 【直径35mm高さ20mmの円柱型の生姜をすりおろしました。  持ち手として最後に一辺5mmの三角錐型の欠片が残ってしまいました。  すりおろされた生姜の体積を求めなさい。】 なんていう問題が頭に浮かんじゃったからだけなんです。 円柱の体積は、まず円の面積が半径17.5×半径17.5×3.14=961.625 それに高さ20をかけて19232.5と出ました。 なんだかものすごく大きい数字になってしまい、もうこの計算さえ合ってる自信がありませんが・・・。

  • 内接球の半径の最大値

    等辺の長さが2の鋭角二等辺三角形の紙がある。各辺の中点を結ぶ線分を折り目として三角錐をつくるとき、その三角錐の内接球の半径の最大値を求めよ この問題に取り組んでいます。二等辺三角形の不明の辺をxとおいて、三角錐を真ん中で切った平面を考えて、半径を出してみたのですが、ルートや2乗がたくさん入っている式になってしまい微分して最大値を求めるのが困難になってしまいました。 この問題は幾何的(?)に最大値が求まるのでしょうか? それとももっとうまい変数の取り方があるのでしょうか? 回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします

  • 正四面体に内接、外接する球についての問題

    正四面体に内接、外接する球についての問題がわかりません。 コメントいただけるとありがたいですm(_ _)m 一辺の長さが2の正四面体について、 (1)正四面体に外接する球(正四面体のすべての頂点を通る球)の表面積を求めよ。 (2)正四面体に内接する球(正四面体のすべての面に接する球)の体積を求めよ。

  • 数学を教えてください

    空間図形。途中式を教えてください。 解答に途中式がないので求め方がわかりません。そこで途中式を教えてください。 1辺の長さが4の正四面体OABCに球が内接している。 (3)内接球の半径rを求めよ。 答え√6/3 (4)内接球の表面積S2、体積V2を求めよ。 答えS2=8π/3、V2=8√6π/27 (1)で△OABの面積S1=4√3、(2)で正四面体OABCの体積V1=16√2/3を求めました。 よろしくお願いします。

  • わからない問題があります。教えてください。

    1辺の長さが4の正四面体OABCに球が接している。 (1)△OABの面積S₁を求めよ。 (2)正四面体OABCの体積V₁を求めよ。 (3)内接球の半径rを求めよ。 (4)内接球の表面積S₂、体積V₂を求めよ。 教えてください。お願いします。