三角錐の表面積

質問

三角錐の表面積の求め方について質問があります。
普通、球の表面積を求めるときは、球（球A と仮定する）をつくり、その球より一回り小さい球（球Bと仮定する）をつくり、球Aの中に球Bをいれ、球Bを球Aの大きさに近づけて、その体積の極限をとることで（微分してやる）ことで球の表面積を求めますよね。その考え方を利用して、三角錐の表面積を求めてみたいと考えてみたわけですが、うまくいきません。（高さと半径という変数が二個あるので偏微分をつかうのかなと考えてみたり、問題を簡単にするために、三角錐の高さと半径を同じ長さを考えてみましたがうまくいきませんでした。）
なお、三角錐の展開図から求める方法はわかっています。
よろしくお願いします。

回答No.3

take008 · ベストアンサー

立体図形で (体積)'＝表面積 の問題ですが，まず平面図形で (面積)'＝周の長さ を考えてみましょう。

正三角形の場合，一辺の長さをｒとして考えると
L=3r S=√3/4r^2 → S'=√3/2r≠L　　×

中心から各辺までの距離（内接円の半径）を r として考えると
L=6√3r S=3√3r^2 → S'=6√3r=L　　○

一般の三角形で，内接円の半径を r，L=αr とすると
S=1/2rL=α/2r^2 → S'=αr=L　　　　　 ○

すなわち，内接円の半径を基準に考えるとうまくいきます。なぜでしょうか。
三角形を拡大していくときに，相似の中心からすべての辺に垂直にかつ等距離になっているからです。

というわけで，円錐の場合，内接球の半径ｒで体積Ｖと表面積Ｓを表せば V'=S になるはずです。

内接球がないような立体ではうまくいかないでしょう。

お礼

ありがとうございます。あとで熟読させていただきます。

回答No.4

noname#25799

全然回答でなくむしろ便乗質問なのですが。＃３さんの答えを読んですごい！と思ったので実際に手を動かしてみました。

円錐の場合、底面の半径をR、高さをaR、内接円の半径をrとして、rを単位として計算すると表面積がちゃんと体積の微分で出てきました。（因みにr=R/a*(√(a^2+1)-1), S=piR^2(√(a^2+1)+1) ）

立方体も内接する半径を基準にすると、V=8r^3, S=24r^2であいますね。

逆に球の体積ももし半径でなくて直径を基準とすると、V=pi/6*d*d,
S=pi*d*dとなって微分じゃ出てこなくなります。

いびつな形ー例えば円錐の下の円の部分が球面をしているソフトクリーム型ーでの内接球を考えると。ソフトクリーム部分は球にすっぽり内接する形になりますが、コーンの部分はどういう角度でも作れてしまい、定量的な表面積の計算はできなくなりそうです。

どうやら全ての独立している面に接する球の存在が必要なのかなと思います。

ただ、本当に球でなくてはならないのかどうかよく分かりません。例えば正八面体をある一方向に引き延ばした形だと球は接しませんが、楕円球なら接します。あるいはそれをさらにある一方向にひずませた場合はひずんだ楕円球が接します。なんとなく直感的にこれらの形でも表面積は体積の微分で出てきそうな気がします。（ひずませた場合はひずみ係数をかけるかも？）どうなのでしょうね？

回答No.2

at9_am

> 普通、球の表面積を求めるときは、球（球A と仮定する）をつくり、その球より一回り小さい球（球Bと仮定する）をつくり、球Aの中に球Bをいれ、球Bを球Aの大きさに近づけて、その体積の極限をとることで（微分してやる）ことで球の表面積を求めます

同じくこの方法は初耳ですが、そうなることは理解できます。同じ方法を使って円錐の表面積を考えてみましょう。高さと半径を持つ錘型の物体と言うことなので円錐だとして考えていきます。

・・・同じ方法で考えてみたのですが、円錐の場合はどうやら体積の極限は表面積にはならないようです。

例えば高さ H、半径 R の円錐 A と、この円錐に相似で大きさが(1-d)倍であるような円錐 B について考えれば、
VA = 1/3 π H R^2
VB = 1/3 π (1-d)^3 H R^2
となりますが、
V(d) = 1/3 π H R^2 - 1/3 π (1-d)^3 H R^2
とおくと
lim[d->0] (VA - VB)/d = V'(0) = π H R^2
となるので、三角錐の表面積 πR(R+h) と一致しません。ただし h は母線の長さとします。

体積の微分は一般には表面積にはならないようで、例えば立方体でもなりません。
一片が x の立方体の体積は x^3 ですが、体積の微分は 3 x^2 となり表面積 6 x^2 と一致しません。

補足

すみません。三角錐→円錐です。ありがとうございます。私の考え方のどこがいけなかったたために間違ったのでしょうか？教えてください。

回答No.1

sanori

「・・・その球より一回り小さい球（球Bと仮定する）をつくり、球Aの中に球Bをいれ、球Bを球Aの大きさに近づけて、その体積の極限をとる・・・」

という方法は、初耳です。
そんな求め方があったんですか。
πを求めるのと似た手法なんでしょうか？

最近、球の表面積に関して、私が書いたのが下記です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2004787

さて、
「三角錐の高さと半径」
と書かれてますが、
・・・ということは、もしかして、円錐と三角錐を間違えてませんか？

勝手に「円錐」と仮定させていただき、以下、回答いたします。

結構、簡単だと思います。

まず、円錐の頂点を原点Ｏと置きます。
円錐の高さをｈ、底面の半径をｒと置きます。
そして、Ｏを通り、底面と平行な面をＳと置きます。
そこを始点に、Ｓを真っ直ぐ底面へ近づけて移動していくと、切り口（断面）は円であり、その円周の長さは、Ｓの移動距離（ｘと置きます）の一次関数です。

Ｓの移動区間は、原点Ｏ（ゼロ）から高さｈまでです。

断面の円周をｘの関数で表すと
円周＝２πｒ・ｘ／ｈ

これをｘ＝０～ｈで積分すれば、側面（扇形部分）の表面積です・・・・・

・・・・・と言いたいところですが、
側面は、積分の方向に対して斜めになってますから、円周の微小太さは、ｄｘではなく、１／cosθ・ｄｘ です。
（θ ＝ arctan(ｒ／ｈ)）

扇形面積　＝　∫２πｒ・ｘ／ｈ・(１／cosθ)・ｄｘ
　　＝　πｒ／(ｈcosθ)・［ｘ^2］（０→ｈ）
　　＝　πｒｈ／cosθ

底面積は、πｒ^2　なので、合計すれば

円錐の表面積　＝　πｒ（ｒ＋ｈ／cosθ）
　　　　　　　　（　θ ＝ arctan(ｒ／ｈ)　）

計算不得意なので、自信ないですが、考え方は合ってるはずです。

なお、「三角錐」も、全く同じ考え方で求められるはずです。

底面の周囲の長さを求めて、頂点から降りていくごとに、断面の三角形の周囲の長さが一次関数で増加しますますから。

お礼

ありがとうございます。