数学III（微分法）

質問

半径ｒの球に外接する直円錐について
（１）体積の最小値
（２）表面積の最小値

を求めるにはどのようにしたらよいでしょうか？
とくに、直円錐の底面の半径を求めるにはどうしたらよいでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

球、および三角錐をちょうど半割りにした断面を考えます。
球の中心をＯ、三角錐の頂点をＡ、三角錐の母線と球の接点をＢとすると、△ＯＡＢは直角三角形です、。ＯＡの長さをｈとするとＡＢの長さは√（ｈ＾２－ｒ＾２）　です。また、三角形の相似より三角錐の底面の半径は
ｒ＊（ｈ＋ｒ）／√（ｈ＾２－ｒ＾２）
であり、三角錐の母線の長さは
ｈ＊（ｈ＋ｒ）／√（ｈ＾２－ｒ＾２）
です。ここまでわかれば三角錐の体積、表面積はｒとｈで表せるので、あとはｈで微分すればＯＫです。

お礼

回答ありがとうございました

わかりました！！＾＾

回答No.3

alice_44

底円の半径や円錐の高さをパラメータに採ってもよいが、
三角関数を知っていれば、頂角をパラメータにすると
比較的に計算が楽。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞とくに、直円錐の底面の半径を求めるには
＞どうしたらよいでしょうか？
中学校のときにありましたよね。
「求めたい変数を（xと）置く。」
いまの問題もその流れになります。

まず、直円錐を特徴づける変数は何でしょうか？
底面の半径もですが、もう一つわからないといけないものがありますね。
「球に内接する」という（束縛する）条件がつくために、
半径が決まるともう一つの変数もその半径で表すことができます。
（真ん中で切った断面図を描けばわかると思います。）

あとは、体積や表面積を底面の半径の関数として表していきます。
そこまでできれば、あとは微分ですね。

最後に答えを出すときは、
「底面の半径が、球の半径の○○となるとき」といった答え方がいいですね。

お礼

回答ありがとうございました